OJM 2010 Problema I

[Andi Brojbeanu]

(i) Aratati ca nu putem pune in varfurile unui cub \( 8 \) numere distincte din multimea \( \{0, 1, 2, 3, ..., 11, 12\} \) astfel incat suma numerelor din oricare doua varfuri unite printr-o muchie a cubului sa fie divizibila cu \( 2 \).
(ii) Aratati ca putem pune in varfurile unui cub \( 8 \) numere distincte din multimea \( \{0, 1, 2, 3, ..., 11, 12\} \) astfel incat suma numerelor din oricare doua varfuri unite printr-o muchie a cubului sa fie divizibila cu \( 3 \).
Gazeta Matematica 12/2009

[andreiilie]

i) Daca suma oricaror 2 nr de pe aceasi muchie este div cu 2 => nrele sunt de aceiasi paritate. Cum cubul are 8 muchii => toate cele 8 nr alocate celor 8 muchii au aceiasi partate, dar in multimea data sunt 7 nr pare, 6 impare => concluzia
ii) Rationament asemanator. Daca am pune un M de 3 => vor fi numai multiplii de 3 ( fals), deci vom alterna (multiplii de 3 )+ 1 cu (multiplii de 3 )+ 2