IMAC 2010 Problema 3

[Andi Brojbeanu]

Fie \( ABCD \) un patrulater convex. Construim cercurile de diametre \( [CD], [AD] \) si notam \( t_d \) lungimea tangentei lor comune. Analog obtinem \( t_a, t_b, t_c \). Fie \( E \) si \( F \) mijloacele diagonalelor \( [AC] \) respectiv \( [BD] \) ale patrulaterului \( ABCD \).
Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1. \( 2(t_a^2+t_b^2+t_c^2+t_d^2) \)\( =-4||\vec{EF}||+(||\vec{AB}||+||\vec{CD}||)^2 \)
2. \( ABCD \) este circumscriptibil.
Andrei Chintes