Casutele unui tablou cu \( 50 \) de linii si \( 50 \) de coloane se pot colora numai cu rosu sau cu albastru. Initial, toate casutele sunt colorate cu rosu. Un pas inseamna schimbarea culorii tuturor casutelor dintr-o linie sau dintr-o coloana.
a) Aratati ca nu exista nicio secventa de pasi dupa care tabloul contine exact \( 2011 \) casute colorate cu albastru.
b) Gasiti un numar de pasi dupa care tabloul contine exact \( 2010 \) casute colorate cu albastru.
ONM 2010 Iasi Problema 3
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm
Nu-mi place sa ma lamentez dar am dreptul la unele opinii:
Si la aceasta problema am unele obiectii deoarece formularea ei contine un echivoc si anume : nu se specifica clar ca o casuta odata colorata in albastru trece inapoi in rosu la un pas si una colorata in rosu trece in albastru la acelasi pas.
Acest echivoc conduce la o rezolvare foarte asemanatoare cu cea data in barem dar neacceptata de comisia care a studiat contestatiile ,nu putine ,care au fost la aceasta problema tocmai pe aceasta interpretare a enuntului.
Deoarece ultima problema a fost rezolvata numai de 2 elevi din 108 eu consider ca aceasta problema a fost pe nedrept cea care a facut departajarea.
Pacat ca la acest nivel ne impiedecam de semantica limbii romane cand vrem sa rezolvam o problema de matematica pe care eu am considerat-o de clasa a 6-a.
Reamintesc ca la etapa judeteana a mai fost un echivoc la problema 4 semnalat de mine pe forum, care a dus la pierderea timpului cu rezolvarea unei variante ce nu a fost acceptata.
Si la aceasta problema am unele obiectii deoarece formularea ei contine un echivoc si anume : nu se specifica clar ca o casuta odata colorata in albastru trece inapoi in rosu la un pas si una colorata in rosu trece in albastru la acelasi pas.
Acest echivoc conduce la o rezolvare foarte asemanatoare cu cea data in barem dar neacceptata de comisia care a studiat contestatiile ,nu putine ,care au fost la aceasta problema tocmai pe aceasta interpretare a enuntului.
Deoarece ultima problema a fost rezolvata numai de 2 elevi din 108 eu consider ca aceasta problema a fost pe nedrept cea care a facut departajarea.
Pacat ca la acest nivel ne impiedecam de semantica limbii romane cand vrem sa rezolvam o problema de matematica pe care eu am considerat-o de clasa a 6-a.
Reamintesc ca la etapa judeteana a mai fost un echivoc la problema 4 semnalat de mine pe forum, care a dus la pierderea timpului cu rezolvarea unei variante ce nu a fost acceptata.
-
andreiilie
- Euclid
- Posts: 38
- Joined: Mon May 24, 2010 4:45 pm
pai.. eu asa am facut-o si am primit toate pct pe ea.
Observam ca: dupa un numar "n" de mutari, numarul de patratele albastre "a" va fi egal cu:
50n-2i=a, unde "i" e numarul de intersectii al "pasilor pe tabel". ( daca pasii de schimbare se intersecteaza, patrat de intersectie va fi schimbata la culoarea initiala. orice patrat admite maxim 2 permutari ale culorilor deoarece intr-un patrat se intersecteaza decat 2 linii ale tabelului).
deci pentru subpuntul a.
pres prin abs ca ar fi adev =>
50n-2i = 2011, n,i sunt din N, 2| 50n ; 2|2i => 2 | 2011 (F) => pres facuta este falsa => nu se pot obtine 2011 patrate albastre dupa orice nr finit "n" de mutari.
subpunctul b
50n-2i=2010 =>
25n-i=1005=>
1005+i=25n => 1005 + i =M(25) => i=20 => n=1025 : 25= 41. => n poate fi 41
(nu este singura valoare, sunt mai multe), mai verificam si pt i=45, etc. Atentie: trebuie sa fiti atenti daca exista acel nr de intersectii pt nr de drepte, spre ex nu pot exista 20 de inters cu 41 de pasi, deci nu e bun exemplul dat de mine
restul e de calcul , deci nu mai are rost .O zi buna!
Observam ca: dupa un numar "n" de mutari, numarul de patratele albastre "a" va fi egal cu:
50n-2i=a, unde "i" e numarul de intersectii al "pasilor pe tabel". ( daca pasii de schimbare se intersecteaza, patrat de intersectie va fi schimbata la culoarea initiala. orice patrat admite maxim 2 permutari ale culorilor deoarece intr-un patrat se intersecteaza decat 2 linii ale tabelului).
deci pentru subpuntul a.
pres prin abs ca ar fi adev =>
50n-2i = 2011, n,i sunt din N, 2| 50n ; 2|2i => 2 | 2011 (F) => pres facuta este falsa => nu se pot obtine 2011 patrate albastre dupa orice nr finit "n" de mutari.
subpunctul b
50n-2i=2010 =>
25n-i=1005=>
1005+i=25n => 1005 + i =M(25) => i=20 => n=1025 : 25= 41. => n poate fi 41
(nu este singura valoare, sunt mai multe), mai verificam si pt i=45, etc. Atentie: trebuie sa fiti atenti daca exista acel nr de intersectii pt nr de drepte, spre ex nu pot exista 20 de inters cu 41 de pasi, deci nu e bun exemplul dat de mine
restul e de calcul , deci nu mai are rost .O zi buna!