JBTST IV 2010, Problema 2

[Andi Brojbeanu]

Sa se arate ca:
a) Exista un sir de numere naturale nenule \( a_1, a_2, ..... \) unic determinat, astfel incat:
\( n=\sum_{d|n}a_d \) pentru oricare ar fi \( n\in\mathb{N}^{*} \).
b) Exista un sir de numere naturale nenule \( b_1, b_2, ..... \) unic determinat, astfel incat:
\( n=\prod_{d|n}b_d \) pentru oricare ar fi \( n\in\mathb{N}^{*} \).
Nota: Suma de la a), respectiv produsul de la b), se fac dupa toti divizorii naturali \( d \) ai numarului \( n \), inclusiv 1 si \( n \).