Criteriu pentru absolut continuitatea masurilor
Moderators: Mihai Berbec, Liviu Paunescu
-
Liviu Paunescu
- Pitagora
- Posts: 84
- Joined: Wed Sep 26, 2007 6:57 pm
Criteriu pentru absolut continuitatea masurilor
Fie \( X \) un spatiu topologic local compact, \( \lambda,\mu \) doua masuri boreliene pozitive pe \( X \). Aratati ca \( \lambda<<\mu \) daca si numai daca oricare ar fi \( f\in C_\infty(X) \) pozitiva si oricare \( \varepsilon>0 \) exista \( \delta>0 \) astfel incat pentru orice \( h\in C_\infty(X)\ 0\leq h\leq f \) avem implicatia \( \int hd\mu\leq\delta\Rightarrow\int hd\lambda\leq\varepsilon \).
Mesajul Depeche Mode pentru matematicieni:
"You'll see your problems multiplied
If you continually decide
To faithfully pursue
The policy of truth"
"You'll see your problems multiplied
If you continually decide
To faithfully pursue
The policy of truth"
Pentru implicatia directa, cred ca trebuie modificat enuntul. Altfel, avem urmatorul contraexemplu:
Contraexemplu: Fie \( X=(0,1),\ \mu \) este masura Lebesgue si \( \mathrm{d} \lambda= \frac 1 {t^2} \mathrm{d}t \). Luam \( f \) sa fie functia in forma de triunghi data de \( \frac 1 2 - \left| x- \frac 1 2 \right| \). Luam un \( \varepsilon \) si alegem \( h=\frac f c \) pentru c bine ales in functie de \( \delta \). Atunci \( \int_X h \mathrm{d}t < \delta \) si \( \int_X h(t) \frac 1 {t^2} \mathrm{d}t =\infty \).
Propozita devine adevarata daca cerem condita doar pentru \( f\in L^1(\lambda) \cap C_{\infty}(X)_+ \).
Demonstratie: Presupunem ca exista f a.i. \( \int_X f \mathrm{d} \lambda < \infty \), exista un \( c>0 \) si \( 0 \leq h_n \leq f \) cu \( \int_X h_n \mathrm{d} \mu < 2^{-n} \) si \( \int_X h_n \mathrm{d} \lambda >c \).
Fie \( H=\limsup h_n \leq f \). Avem \( \int_{X} H \mathrm{d} \mu =0 \) deci \( \int_{X} X \mathrm{d} \lambda =0 \) din absolut continuitate. Dar, din lema lui Fatou avem:
\( \int_{X} \liminf [f-h_n] \mathrm{d} \lambda \leq \liminf \int_{X} f-h_n \mathrm{d}\lambda \) deci \( \limsup \int_{X} h_n \mathrm{d} \lambda =0 \), contradictie.
Pentru reciproca, as vrea sa folosesc si conditii de regularitate pentru masuri. Putem sa le presupunem ? Sau macar masurile sa fie finite pe compacte. Pe \( X \) putem sa il consideram Hausdorff?
Contraexemplu: Fie \( X=(0,1),\ \mu \) este masura Lebesgue si \( \mathrm{d} \lambda= \frac 1 {t^2} \mathrm{d}t \). Luam \( f \) sa fie functia in forma de triunghi data de \( \frac 1 2 - \left| x- \frac 1 2 \right| \). Luam un \( \varepsilon \) si alegem \( h=\frac f c \) pentru c bine ales in functie de \( \delta \). Atunci \( \int_X h \mathrm{d}t < \delta \) si \( \int_X h(t) \frac 1 {t^2} \mathrm{d}t =\infty \).
Propozita devine adevarata daca cerem condita doar pentru \( f\in L^1(\lambda) \cap C_{\infty}(X)_+ \).
Demonstratie: Presupunem ca exista f a.i. \( \int_X f \mathrm{d} \lambda < \infty \), exista un \( c>0 \) si \( 0 \leq h_n \leq f \) cu \( \int_X h_n \mathrm{d} \mu < 2^{-n} \) si \( \int_X h_n \mathrm{d} \lambda >c \).
Fie \( H=\limsup h_n \leq f \). Avem \( \int_{X} H \mathrm{d} \mu =0 \) deci \( \int_{X} X \mathrm{d} \lambda =0 \) din absolut continuitate. Dar, din lema lui Fatou avem:
\( \int_{X} \liminf [f-h_n] \mathrm{d} \lambda \leq \liminf \int_{X} f-h_n \mathrm{d}\lambda \) deci \( \limsup \int_{X} h_n \mathrm{d} \lambda =0 \), contradictie.
Pentru reciproca, as vrea sa folosesc si conditii de regularitate pentru masuri. Putem sa le presupunem ? Sau macar masurile sa fie finite pe compacte. Pe \( X \) putem sa il consideram Hausdorff?