Functie întrega monomiala

[aleph]

Arătaţi că o funcţie întregă \( f \) cu proprietatea că \( |f(z)| = 1 \) pentru orice \( |z| = 1 \)
este de forma \( f(z) = a z^n \), cu \( |a| = 1 \) şi \( n \) număr natural.

[Consonant]

Am ezitat sa scriu o solutie pentru aceasta problema intrucat este problema 4 (b) de la Capitolul XII din W. Rudin "Analiza reala si complexa".
Cred ca ar fi util, pentru cei care incearca sa o rezolve, sa adaugam si punctul (a) al problemei, asa cum este formulata la sursa:

(a) Fie \( \Omega \) un domeniu din planul complex, \( D \) un disc cu inchiderea \( \overline D \) in \( \Omega \) si \( f \) o functie olomorfa si neconstanta pe \( \Omega \) cu proprietatea ca are modulul constant pe frontiera discului \( D \). Atunci \( f \) are cel putin un zero in \( D \).

[Alin Galatan]

(a) Fie C cercul lui D. f nu se anuleaza pe C (altfel f ar fi nula pe C, deci nula peste tot).
Fie M modulul lui f pe C.
\( M>|f(z)| \) pentru orice \( z\in D \) din principiul maximului modulului pentru f-neconstant.
Presupunem prin absurd ca f nu se anuleaza, deci \( g=\frac{1}{f} \) e olomorfa pe D, deci princ. maximului modulului pentru g-neconstant ne da \( \frac{1}{M}>\frac{1}{|f(z)|} \). Din cele doua relatii obtinem contradictie, deci f are cel putin un zero in D.

[Cristi]

Sa observam ca \( f \) are doar un numar finit de zerouri in \( D \), fie ele \( 0,a_1,a_2, \dots ,a_m \). Formam produsul Blaschke cu aceste zerouri:
\( B(z)=z^k \prod_{n=1}^m \frac{a_n-z}{1-\bar{a_n}z} \frac{|a_n|}{a_n} \), unde \( k \) este multiplicitatea lui \( 0 \) (eventual \( k=0 \)).

\( B \) are modul \( 1 \) pe frontiera, deci si functia \( g(z)=\frac{f(z)}{B(z)} \) are aceeasi proprietate. \( g \) nu are zerouri in \( D \) si este analitica pe un domeniu mai mare decat \( \bar{D} \), deci \( g(z)=c \) si atunci \( f(z)=cz^k \prod_{n=1}^m \frac{a_n-z}{1-\bar{a_n}z} \frac{|a_n|}{a_n} \). Dar \( f \) este intreaga si atunci nu poate contine factori de tipul acelor fractii, adica \( f \) are forma cautata.

[Beniamin Bogosel]

Definim \( g(z)=\frac{1}{\overline{f(\frac{1}{\bar{z}})}} \) pe \( \mathbb{C}^* \) mai putin conjugatele inverselor zerourilor lui \( f \). Prin calcul direct rezulta ca \( g \) e olomorfa pe acest domeniu. \( f(z)=g(z) \) pe discul unitate implica \( f(z)=g(z) \ (*) \) pe intreg acest domeniu. Daca \( \frac{1}{\bar{z}} \) este zero al lui \( f \) [/tex]z \neq 0[/tex], atunci este un punct izolat, iar egalitatea \( f(z)=g(z) \) in vecinatatea acelui punct implica faptul ca \( z \) este o singularitate aparenta pentru \( g \), adica \( g \) poate fi considerata definita corect pe \( \mathbb{C}^* \), si astfel \( f \) poate sa aiba zerouri doar in \( 0 \).

Mai intai, daca \( f \) nu se anuleaza, egalitatea de mai sus are loc in tot planul complex, prin urmare \( f(\mathbb{C})\subset f(\mathbb{D}) \) care este marginita. Prin urmare \( f \) este marginita si intreaga, adica constanta.

( Deoarece \( f \) este marginita pe \( \mathbb{D} \) rezulta ca \( f \) nu se anuleaza in afara discului unitate, pentru ca altfel ar rezulta o contradictie cu \( (*) \). Deci \( f \) se poate anula cel mult in interiorul discului unitate. )

Fie \( f(x)=x^k h(x) \) cu \( k \) ordinul zero-ului in \( 0 \). Atunci \( h \) verifica ipotezele problemei, si nu se anuleaza, adica e o constanta de modul 1, din considerentele de mai sus.

Prin urmare \( f \) are forma ceruta.

[Beniamin Bogosel]

Cu demonstratia de mai sus, problema se poate reformula astfel:
Gasiti functia intreaga \( f \) daca \( |f(z)=1| \) pentru o infinitate de numere \( z \) de modul 1. Analog se defineste functia \( g \), si se arata ca pana la urma \( g(z)=f(z) \) pe domeniul maxim de definitie al lui \( g \).

[Cristi]

Dar daca \( f \) e presupusa doar meromorfa in afara discului?