Predualul unui spatiu Banach
Moderator: Liviu Paunescu
-
Liviu Paunescu
- Pitagora
- Posts: 84
- Joined: Wed Sep 26, 2007 6:57 pm
Predualul unui spatiu Banach
Fie \( B \) un spatiu Banach si \( B_* \) un predual al lui, deci \( B=(B_*)^* \). Fie \( M\subset B \) un subspatiu liniar, inchis in topologia \( * \)-slaba de pe \( B \). Aratati ca \( M \) are un predual, adica exisata \( M_* \) astfel incat \( M=(M_*)^* \).
Fie \( M^{\perp}=\{ x \in B_{*} \ | \ \langle x , x^*\rangle=0 \ \forall x^*\in M \} \). Acest spatiu este inchis deoarece este intersectia unor nuclee de functionale continue, deci putem sa factorizam la el si sa obtinem tot un spatiu normat.
Demonstrez ca \( M_*=\frac{B_*}{M^{\perp}} \).
Proiectia \( p:\ B_* \to \frac{B_*}{M^{\perp}} \) este liniara si continua, deci oricarei functionale \( \varphi : \ \frac{B_*}{M^{\perp}} \to \mathbb{C} \) ii corespunde functionala \( \varphi \circ p \in B \) cu proprietatea ca se anuleaza pe \( M^{\perp} \) si reciproc, orice element din \( B \) cu aceasta proprietate are un corespondent \( \varphi :\ \frac{B_*}{M^{\perp}} \to \mathbb{C} \).
Mai ramane de demonstrat ca multimea functionalelor \( x^* \in B \) care se anuleaza pe \( M^{\perp} \) este chiar \( M \), adica \( (M^{\perp})^{\perp}=M \).
Evident \( M \subset (M^{\perp})^{\perp} \) si \( (M^{\perp})^{\perp} \) este subspatiu weak* inchis in \( B \). Daca \( x \ : \ (M^{\perp})^{\perp} \to \mathbb{C} \) este liniara si continua a.i. se anuleaza pe \( M \), atunci \( x\in M^{\perp} \), deci pentru orice \( y^* \in (M^{\perp})^{\perp} \) avem \( \langle x,y \rangle =0 \) adica \( x \) e functionala nula. Acum concluzia rezulta din Teorema Hahn-Banach pentru spatii local convexe (\( B \) este local convex).
Demonstrez ca \( M_*=\frac{B_*}{M^{\perp}} \).
Proiectia \( p:\ B_* \to \frac{B_*}{M^{\perp}} \) este liniara si continua, deci oricarei functionale \( \varphi : \ \frac{B_*}{M^{\perp}} \to \mathbb{C} \) ii corespunde functionala \( \varphi \circ p \in B \) cu proprietatea ca se anuleaza pe \( M^{\perp} \) si reciproc, orice element din \( B \) cu aceasta proprietate are un corespondent \( \varphi :\ \frac{B_*}{M^{\perp}} \to \mathbb{C} \).
Mai ramane de demonstrat ca multimea functionalelor \( x^* \in B \) care se anuleaza pe \( M^{\perp} \) este chiar \( M \), adica \( (M^{\perp})^{\perp}=M \).
Evident \( M \subset (M^{\perp})^{\perp} \) si \( (M^{\perp})^{\perp} \) este subspatiu weak* inchis in \( B \). Daca \( x \ : \ (M^{\perp})^{\perp} \to \mathbb{C} \) este liniara si continua a.i. se anuleaza pe \( M \), atunci \( x\in M^{\perp} \), deci pentru orice \( y^* \in (M^{\perp})^{\perp} \) avem \( \langle x,y \rangle =0 \) adica \( x \) e functionala nula. Acum concluzia rezulta din Teorema Hahn-Banach pentru spatii local convexe (\( B \) este local convex).