Internet Olympiad Problema 4 (sir banal)

[Beniamin Bogosel]

Fie \( (x_n)_n \) un sir cu \( x_1=1 \) si \( x_{n+1}=x_n+e^{-x_n} \). Calculati limita.

Internet Olympiad, Ariel University of Samaria, Israel


P.S. Daca vi se pare prea usor (se cam vede din ochi totul... ), nu postati raspunsul... Lasati si pe cei care vor sa invete sa raspunda.

[Adriana Nistor]

Notam cu \( l \) limita sirului.(\( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) este strict crescator).Din relatia \( x_{n+1}=x_n+e^{-x_n} \) se obtine ca \( l=l+\lim(e^{-x_n}) \Rightarrow \lim (e^{-x_n})=0 \Rightarrow -x_n\rightarrow -\infty\Rightarrow x_n\rightarrow\infty\Rightarrow l=+\infty \)

[opincariumihai]

La stadiul actual al invatamantului romanesc , cred ca asa ar trebui sa arate un subiect propus la faza locala a olimpiadei de matematica
Comicul la noi rezulta din discrepanta intre ceea ce suntem in realitate ( majoritatea ) si ceea ce ne pretindem a fi ( unii...majoritatea)

[Virgil Nicula]

La stadiul actual al invatamantului romanesc , cred ca asa ar trebui sa arate un subiect propus la faza locala O.M.
Comicul rezulta din discrepanta intre ceea ce suntem in realitate si ceea ce ne pretindem a fi.

Opincariumihai, ce crezi, exercitiul de mai jos merge la "judeteana" in ziua de azi ?!Si acum

sa trecem de la "banal/evident" la ... "usor/accesibil". Pana la "esenta" este cale lunga ...

Fie sirul definit astfel : \( x_1=1 \) si \( x_{n+1}=x_n+e^{-x_n} \) , \( n\in\ N^* \) . Sa se arate ca

\( \lim_{n\to\infty}\ x_n=\infty \) , \( \lim_{n\to\infty}\ \frac {x_n}{n}=0 \) , \( \lim_{n\to\infty}\ \frac {x_n}{\ln n}=1 \) si \( \lim_{n\to\infty}\ n^{\frac {1}{x_n}}=e \) .