ONM 2010 Iasi Problema 1
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
ONM 2010 Iasi Problema 1
Fie \( S \) o submultime cu \( 673 \) de elemente a multimii \( \{1, 2, ...., 2010\} \). Aratati ca exista doua elemente \( a \) si \( b \) din \( S \) cu proprietatea ca \( 6 \) divide \( a+b \).
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm
Se impart cele 2010 elemente in 6 clase de resturi (= siruri de resturi obtinute la impartirea cu 6) si se obtine astfel 6 siruri cu cate 335 numere fiecare adica 335 de 0; 335 de 1; 335 de 2; 335 de 3; 335 de 4; 335 de 5.
Astfel nu putem lua in grupul celor 673 decat un 3 si un 0 pt.ca in caz contrar rezolvarea se preste aici; si atunci mai raman de ales 671 de elemente din celelalte .Dar conform principiului cutiei suntem obligati sa luam in grupul celor 671 resturi de 3 feluri care conduce la obligativitatea de a lua o pereche de resturi complementare adica trebuie sa luam doua resturi in pereche de forma 1+5 sau 2+4. si aceste numere indeplinesc conditiile concluziei.
Astfel nu putem lua in grupul celor 673 decat un 3 si un 0 pt.ca in caz contrar rezolvarea se preste aici; si atunci mai raman de ales 671 de elemente din celelalte .Dar conform principiului cutiei suntem obligati sa luam in grupul celor 671 resturi de 3 feluri care conduce la obligativitatea de a lua o pereche de resturi complementare adica trebuie sa luam doua resturi in pereche de forma 1+5 sau 2+4. si aceste numere indeplinesc conditiile concluziei.