problema1. Pe planul patratului ABCD se considera perpendiculara MB a.i. \( AM=MB=\sqrt{3} \) .
a)Sa se arate ca AC si MD sunt perpendiculare.
b)Sa se afle distanta dintre AC si MD.
problema2. a)Aratati ca daca a,b,c sunt numere reale atunci \( a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca \) .
b)Daca x,y,z sunt numere reale pozitive, a.i. \( x^2+y^2+z^2=2 \) determinati cea mai mica valoare a expresiei \( E=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \) .
problema3. Sa se arate ca nu exista numere intregi x,y,z a.i. : \( (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30 \) .
problema4. Fie functia \( f:{{0,1,2,...100}}\to{{-1,0,}1} \) . Demonstrati ca daca \( f(0),f(1),f(2),...f(100) \) sunt nenule atunci \( f(0)+f(1)+f(2)+...f(100) \) este diferita de zero.
Alte informatii gasiti http://www.concursurigorj.ro/ .
Concursul Interjudetean Titu Buta
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
1. a)\( MB\perp (ABC)\Rightarrow MB\perp AC\Rightarrow AC\perp MB \)
\( ABCD \) patrat \( \Rightarrow AC\perp BD \).
Din \( AC\perp MB \) si \( AC\perp BD\Rightarrow AC\perp(MBD)\Rightarrow AC\perp MD \).
b) \( V_{MACD}=\frac{MB\cdot S_{ACD}}{3}=\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( V_{MACD}=\frac{d(AC;MD)\cdot sin(AC;MD)\cdot AC\cdot MD}{6}=\frac{d(AC;MD)\cdot 1\cdot (\sqrt{3}\cdot \sqrt{2})\cdot \sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3}\cdot\sqrt{2})^2}}{6}=\frac{d(AC;MD)\cdot \sqrt{6}\cdot 3}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d(AC;MD)=
\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{6}{\sqrt{6}\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \).
2. a) Inmultind cu doi si trecand totul in partea stanga se ajunge la \( (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0 \), care este adevarata.
b) Avem \( E^2=\sum{(\frac{xy}{z})^2}+2(x^2+y^2+z^2)\ge \sum{\frac{xy}{z}\cdot \frac{yz}{x}}+2(x^2+y^2+z^2)=3(x^2+y^2+z^2)=6\Rightarrow E\ge \sqrt{6} \) cu egalitate pentru \( x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \).
\( ABCD \) patrat \( \Rightarrow AC\perp BD \).
Din \( AC\perp MB \) si \( AC\perp BD\Rightarrow AC\perp(MBD)\Rightarrow AC\perp MD \).
b) \( V_{MACD}=\frac{MB\cdot S_{ACD}}{3}=\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( V_{MACD}=\frac{d(AC;MD)\cdot sin(AC;MD)\cdot AC\cdot MD}{6}=\frac{d(AC;MD)\cdot 1\cdot (\sqrt{3}\cdot \sqrt{2})\cdot \sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3}\cdot\sqrt{2})^2}}{6}=\frac{d(AC;MD)\cdot \sqrt{6}\cdot 3}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d(AC;MD)=
\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{6}{\sqrt{6}\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \).
2. a) Inmultind cu doi si trecand totul in partea stanga se ajunge la \( (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0 \), care este adevarata.
b) Avem \( E^2=\sum{(\frac{xy}{z})^2}+2(x^2+y^2+z^2)\ge \sum{\frac{xy}{z}\cdot \frac{yz}{x}}+2(x^2+y^2+z^2)=3(x^2+y^2+z^2)=6\Rightarrow E\ge \sqrt{6} \) cu egalitate pentru \( x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \).
Pentru problema 4 : Daca \( \normal f(0),f(1),\dots,f(100) \) sunt nenule atunci codomeniul functiei s-ar putea restrange doar la \( \normal {-1, 1} \). Avand in vedere ca sunt 101 numere in suma atunci cea mai nefavorabila alegere ar fi o alternanta de semne \( -1 \) si \( 1 \), dar avand in vedere ca sunt un numar impar de numere atunci inseamna ca \( f(101) \) ar trebui sa fie \( -1 \) sau \( 1 \) deci suma lor ar fi diferita de 0. Problema se poate generaliza pe \( 2k+1 \) numere.