Fie \( ABCD \) un patrulater convex , iar \( M \),\( N \),\( P \),\( Q \) mijloacele laturilor.Sa se arate ca \( MNPQ \) este paralelogram.
Caut o rezolvare cu numere complexe (Aplicarea Nr. Complexe in trigonometrie) dar inca nu am reusit..
patrulater convex => paralelogram
Am gasit 
Se arata pe rand ca \( MN || AC \) , \( QP || AC \) respectiv \( NP || BD \) si \( QM || BD \)
\( Z_{M}=\frac{Z_{A}+Z_{B}}{2} \)
\( Z_{N}=\frac{Z_{B}+Z_{C}}{2} \)
Arat ca \( MN||AC \) \( \Longleftrightarrow \) \( \frac{Z_{C}-Z_{A}}{\frac{Z_{B}+Z_{C}}{2}-\frac{Z_{A}+Z_{B}}{2}} = 2 \in R \) . Analog celelalte
Se arata pe rand ca \( MN || AC \) , \( QP || AC \) respectiv \( NP || BD \) si \( QM || BD \) \( Z_{M}=\frac{Z_{A}+Z_{B}}{2} \)
\( Z_{N}=\frac{Z_{B}+Z_{C}}{2} \)
Arat ca \( MN||AC \) \( \Longleftrightarrow \) \( \frac{Z_{C}-Z_{A}}{\frac{Z_{B}+Z_{C}}{2}-\frac{Z_{A}+Z_{B}}{2}} = 2 \in R \) . Analog celelalte
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Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Notam \( X(x) \) - punctul \( X \) de afix \( x\in\mathbb C \) si mijloacele \( M\ ,\ N\ ,\ P\ ,\ Q \)
ale laturilor \( AB\ ,\ BC\ ,\ CD\ ,\ DA \) . Prin urmare
\( A(a)\ ,\ B(b)\ ,\ C(c)\ ,\ D(d)\ ,\ M(m)\ ,\ N(n)\ ,\ P(p)\ ,\ Q(q)\ \Longrightarrow \)
\( 2m=a+b\ ,\ 2n=b+c\ ,\ 2p=c+d\ ,\ 2q=d+a\ \Longrightarrow \)
\( m+p=n+q=\frac 12\cdot (a+b+c+d)\ \Longrightarrow\ MNPQ \) - paralelogram.
Aceste randuri nu le interpretati ca o solutie, desi este si o solutie.
Am postat pentru a da o mostra cum trebuie facuta o redactare.
ale laturilor \( AB\ ,\ BC\ ,\ CD\ ,\ DA \) . Prin urmare
\( A(a)\ ,\ B(b)\ ,\ C(c)\ ,\ D(d)\ ,\ M(m)\ ,\ N(n)\ ,\ P(p)\ ,\ Q(q)\ \Longrightarrow \)
\( 2m=a+b\ ,\ 2n=b+c\ ,\ 2p=c+d\ ,\ 2q=d+a\ \Longrightarrow \)
\( m+p=n+q=\frac 12\cdot (a+b+c+d)\ \Longrightarrow\ MNPQ \) - paralelogram.
Aceste randuri nu le interpretati ca o solutie, desi este si o solutie.
Am postat pentru a da o mostra cum trebuie facuta o redactare.
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Virgil Nicula
- Euler
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- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Virgil Nicula wrote:Notam \( X(x) \) - punctul \( X \) de afix \( x\in\mathbb C \) si mijloacele \( M\ ,\ N\ ,\ P\ ,\ Q \)
ale laturilor \( AB\ ,\ BC\ ,\ CD\ ,\ DA \) . Prin urmare :
\( A(a)\ ,\ B(b)\ ,\ C(c)\ ,\ D(d)\ ,\ M(m)\ ,\ N(n)\ ,\ P(p)\ ,\ Q(q)\ \Longrightarrow \)
\( 2m=a+b\ ,\ 2n=b+c\ ,\ 2p=c+d\ ,\ 2q=d+a\ \Longrightarrow \)
\( m+p=n+q=\frac 12\cdot (a+b+c+d)\ \Longrightarrow\ MNPQ \) - paralelogram.
Aceste randuri nu le interpretati ca o solutie, desi este si o solutie.
Am postat pentru a da o mostra cum trebuie facuta o redactare.