Numar de polinoame

[Theodor Munteanu]

Sa se determine numarul polinoamelor:
\( f=X^n + a_1X^{n-1} +...+a_n,a_k \in C \) cu proprietatea ca radacinile fiecaruia formeaza un grup multiplicativ.

[Laurentiu Tucaa]

Avem urmatoarea lema(exercitiu):
Daca \( (G,\cdot) \)este un grup multiplicativ finit cu n elemente ,subgrup al lui \( (\mathbb{C},\cdot) \),atunci \( G=U_n \)
Acum polinomul poate sa aiba :
1)nicio radacina ,n-am avea subgrup
2)o radacina ,atunci aceasta este 1 si \( f=(X-1)^n \)
3)2 radacini si atunci \( f=(X-1)^k\cdot(X+1)^{n-k} \),k de la 1 la n-1 ,iar aici avem n-1 polinoame
4)3 radacini si atunci\( f=(X-1)^i\cdot(X-\eps)^j\cdot(X-\eps^2)^k \) cu proprietatea\( i+j+k=n,1\le i,j,k\le n-2 \),iar numarul lor este \( \begin{pmatrix} n-1\\2 \end{pmatrix} \)
Analog in cazul in care polinomul are p radacini ,se demonstreaza ca numarul polinoamelor este \( \begin{pmatrix} n-1 \\p \end{pmatrix} \).
In total avem \( \sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix} n-1\\k \end{pmatrix}=2^{n-1} \) polinoame .

[Theodor Munteanu]

Cu riscul de a devia de la tematica subforumului catre combinatorica trebuie sa te intreb cum demonstrezi ca numarul polinoamelor pentru p radacini este \( \begin{pmatrix} n-1 \\p \end{pmatrix} \)?

[Laurentiu Tucaa]

Am demonstratie si pentru asta ,dar e mai lunga .Iese prin recurenta si se foloseste relatia \( \begin{pmatrix} n-1 \\ p \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n-2 \\ p-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n-3 \\ p-1 \end{pmatrix}+... \).Sper sa nu fi gresit ,revin cu demostratia completa.