f continua si f(a)=f(b), atunci avem f(x_i)=f(x_j)
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
f continua si f(a)=f(b), atunci avem f(x_i)=f(x_j)
Fie \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat \( f(a)=f(b) \). Sa se arate ca exista o infinitate de numere \( x_{i}\neq x_{j} \) astfel incat \( f(x_{i})= f(x_{j}) \).
Last edited by Cezar Lupu on Wed Nov 21, 2007 12:41 am, edited 2 times in total.
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
Avem doua posibilitati:
I. functia este constanta pe un interval nedegenerat \( [c,d]\subseteq [a,b] \). Aici avem concluzia.
II. functia nu este constanta pe niciun interval din [a,b]. Atunci din teorema Weierstrass functia isi atinge efectiv minimul si maximul si fie \( c_m,\ c_M \)doua puncte din [a,b] a.i. \( f(c_m)=\min_{x\in[a,b]} f(x)=m;\ f(c_M)=\max_{x\in[a,b]} f(x)=M \). Unul dintre aceste doua puncte se afla in interiorul intervalului, altfel functia ar fi constanta. Alegem pe \( c_m\in (a,b). \) Cum \( c_m \) este punct de minim global (deci si local), atunci avem o vecinatate \( V\subset V(c_m) \ a.i.\ \forall x\in V ,f(x)\ge f(c_m)=m \). Fie \( (c_m-\eps,c_m+\eps)\subset V \). Avem ca intervalul \( [c_m-\frac{\eps}{2},c_m+\frac{\eps}{2}]\subset (c_m-\eps,c_m+\eps). \) Avem \( f([c_m-\frac{\eps}{2},c_m])\subseteq f([c_m,c_m+\frac{\eps}{2}]) \) sau invers si cum cele doua multimi sunt intervale (cele din paranteze iar reuniunea este doar un punct intre cele doua, adica \( c_m \)), avem concluzia.
I. functia este constanta pe un interval nedegenerat \( [c,d]\subseteq [a,b] \). Aici avem concluzia.
II. functia nu este constanta pe niciun interval din [a,b]. Atunci din teorema Weierstrass functia isi atinge efectiv minimul si maximul si fie \( c_m,\ c_M \)doua puncte din [a,b] a.i. \( f(c_m)=\min_{x\in[a,b]} f(x)=m;\ f(c_M)=\max_{x\in[a,b]} f(x)=M \). Unul dintre aceste doua puncte se afla in interiorul intervalului, altfel functia ar fi constanta. Alegem pe \( c_m\in (a,b). \) Cum \( c_m \) este punct de minim global (deci si local), atunci avem o vecinatate \( V\subset V(c_m) \ a.i.\ \forall x\in V ,f(x)\ge f(c_m)=m \). Fie \( (c_m-\eps,c_m+\eps)\subset V \). Avem ca intervalul \( [c_m-\frac{\eps}{2},c_m+\frac{\eps}{2}]\subset (c_m-\eps,c_m+\eps). \) Avem \( f([c_m-\frac{\eps}{2},c_m])\subseteq f([c_m,c_m+\frac{\eps}{2}]) \) sau invers si cum cele doua multimi sunt intervale (cele din paranteze iar reuniunea este doar un punct intre cele doua, adica \( c_m \)), avem concluzia.
\( f \) e continua, deci \( f \) are proprietatea lui Darboux.
Consider la fel un punct de maxim sau minim, fie el \( f(c),\ c\in\(a,b\) \).
Acum \( f \) are PD pe \( \(a,c\) \), deci \( \forall y \) intre \( f(a) \) si \( f(c) \) exista un \( t\in\(a,c\) \) cu \( f(t)=y \). Analog exista \( z\in\(c,b\) \) cu \( f(z)=y \), deci \( f(z)=f(t) \) pentru o infinitate de perechi \( \(z,t\) \).
Consider la fel un punct de maxim sau minim, fie el \( f(c),\ c\in\(a,b\) \).
Acum \( f \) are PD pe \( \(a,c\) \), deci \( \forall y \) intre \( f(a) \) si \( f(c) \) exista un \( t\in\(a,c\) \) cu \( f(t)=y \). Analog exista \( z\in\(c,b\) \) cu \( f(z)=y \), deci \( f(z)=f(t) \) pentru o infinitate de perechi \( \(z,t\) \).
n-ar fi rau sa fie bine 
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Desi o sa para ca trag cu tunul in muste, exista si o solutie la nivelul clasei a XII-a care foloseste teorema de medie pentru integrale si deja celebra teorema de medie a lui Flett.
Solutie.
Fie \( \phi:[a, b]\to\mathbb{R} \) definita prin \( \phi(t)=\int_a^tf(x)dx \). Avem ca \( \phi^{\prime}(a)=\phi^{\prime}(b)=f(a)=f(b) \). Aplicand teorema lui Flett, obtinem existenta unui punct \( \xi\in (a, b) \) astfel incat \( \int_a^{\xi}f(x)dx=(\xi -a)f(\xi) \). Pe de alta parte, aplicand teorema de medie pentru integrale pe \( (a, \xi) \), rezulta ca exista \( c\in (a, \xi) \) astfel incat \( \int_a^{\xi}f(x)dx=(\xi-a)f(c) \), de unde \( f(c)=f(\xi) \) si de aici tot asa. \( \qed \)
Solutie.
Fie \( \phi:[a, b]\to\mathbb{R} \) definita prin \( \phi(t)=\int_a^tf(x)dx \). Avem ca \( \phi^{\prime}(a)=\phi^{\prime}(b)=f(a)=f(b) \). Aplicand teorema lui Flett, obtinem existenta unui punct \( \xi\in (a, b) \) astfel incat \( \int_a^{\xi}f(x)dx=(\xi -a)f(\xi) \). Pe de alta parte, aplicand teorema de medie pentru integrale pe \( (a, \xi) \), rezulta ca exista \( c\in (a, \xi) \) astfel incat \( \int_a^{\xi}f(x)dx=(\xi-a)f(c) \), de unde \( f(c)=f(\xi) \) si de aici tot asa. \( \qed \)
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.