Categorii

[Flo]

1) Fie \( A \) e o multime partial ordonata si \( CA \) categoria cu obiecte elementele lui \( A \) si un morfism unic \( a\rightarrow b \) cand \( a\leq b \). Dati o conditie necesara si suficienta pentru ca in \( CA \) sa existe produse. Descrieti functorii reprezentabili in categoria \( CA \) si dati explicit transformarile naturale intre functori.

2) In orice categorie abeliana, un obiect \( F \) este simplu daca orice monomorfism \( G\rightarrow F \) este un izomorfism sau 0.
Considerati \( A \) si \( CA \) ca in problema 1. Fie \( \mathfrak{F}=Fun(CA,V) \) categoria functorilor unde \( V \) este categoria spatiilor vectoriale peste un corp \( K \). Care morfisme din \( \mathfrak{F} \) sunt monomorfisme? Pentru care multimi partial ordonate \( A \) este orice obiect in \( \mathfrak{F} \) o suma directa de obiecte simple?