functor Serre pentru categoria stabila de module

[Dragos Fratila]

Fie \( A \) o algebra simetrica peste un corp (adica o algebra izomorfa cu duala ei ca \( A-A \) bimodule).

Ne uitam la categoria stabila de module finit generate, adica la categoria ce are ca obiecte modulele stangi peste \( A \) iar ca morfisme \( \hom^{st}_A(X,Y) = \hom_A(X,Y)/\hom^{pr}_A(X,Y) \) unde \( \hom^{pr}_A \) inseamna morfismele ce factorizeaza printr-un proiectiv. (aceasta categorie nu mai este abeliana).

Fie acum \( \Omega_A = \ker(A\otimes A\to A) \) (aplicatia fiind multiplicarea).

Sa se demonstreze ca avem un izomorfism natural \( \hom^{st}(Y, \Omega_A\otimes_A X) \simeq \hom^{st}(X,Y)^* \).

Obs. In general un functor \( S \) intr-o categorie k-liniara ce satisface \( \hom(X,S(Y)) \simeq \hom(Y,X)^* \) se numeste functor Serre (de ex. in geometria algebrica, in categoria derivata a fasciculelor coerente pe o varietate neteda \( (\omega_X\otimes- )[\dim(X)] \) este functor Serre datorita Teoremei de dualitatate Serre).