Ecuatie Cauchy cu 2 solutii

[Beniamin Bogosel]

Fie \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) continua si \( t_0,x_0 \in \mathbb{R}. \)
Demonstrati ca daca problema Cauchy: \( \left\{ \begin{array}{ll} \dot{x}=f(t,x) \\ x(t_0)=x_0 \end{array}\right. \) are doua solutii diferite, atunci are o infinitate.

(Daca o solutie prelungeste alta solutie, cele doua nu sunt considerate diferite.)

[Beniamin Bogosel]

Problema e superba. Azi am vazut solutia la curs si foloseste Teorema de existenta a solutiei (Peano), Teorema de prelungire a solutiilor si Teorema de existenta a solutiilor maximale... Pentru solutie se construiesc solutii care trec prin anumite puncte, obtinandu-se astfel o infinitate. Nu postez inca solutia, ci va las sa va mai ganditi.

[Cezar Lupu]

Beni, te-as ruga frumos sa postezi solutia. Eu nu stiu s-o fac, desi nu pot sa zic ca m-am gandit foarte mult la ea.

[Beniamin Bogosel]

Fara a pierde generalitatea, putem presupune ca \( t_0=x_0=0 \). Pentru ca exista doua solutii, exista un interval \( [0,b] \) astfel incat restrictiile solutiilor (cele doua care exista) sa fie diferite pe \( [0,b] \), mai exact, \( x_1(b)\neq x_2(b) \) (daca nu exista un astfel de \( b \), cautam un interval de forma \( [-b,0] \) pentru care solutiile sunt diferite in \( -b \)).

Pentru fiecare punct \( (p,q) \) de pe segmentul determinat de \( (b,x_1(b)),\ (b,x_2(b)) \) exista, conform teoremei de existenta a solutiilor a lui Peano, o solutie \( x_0 \) pentru ecuatia initiala cu data initiala \( x(p)=q \). Graficul acestei solutii, fiind (cel putin intr-o vecinatate a lui \( b \)) intre graficele functiilor \( x_1,x_2 \), va trece prin \( (0,0) \) sau va intersecta graficul lui \( x_1 \) de exemplu. Conform unei consecinte a Teoremei lui Lagrange, atunci cand doua solutii ale unei ecuatii diferentiale \( \dot{x}=f(x,y) \) cu \( f(\cdot, \cdot) \) continua se intersecteaza, putem forma o noua solutie, alegand la punctul de intersectie ce ramura dorim. Astfel, putem construi o solutie care trece prin \( (0,0) \) si \( (p,q) \) "mergand" pe graficul lui \( x_1 \) pana la intersectia cu graficul lui \( x_0 \) si apoi mergand pe graficul lui \( x_0 \) pana in \( (p,q) \).

Prin urmare, putem construi o solutie pentru ecuatia noastra pentru fiecare punct de pe segmentul \( (b,x_1(b)),\ (b,x_2(b)) \), segment negedenerat. Prin urmare exista o infinitate (chiar nenumarabila) de functii care verifica ecuatia data.

Nu e o solutie riguroasa, dar cred ca se poate intelege, si toate teoremele necesare sunt demonstrate in orice curs elementar de ecuatii diferentiale.