Vectori liniar indep. stau de aceeasi parte a unui hiperplan

[Dragos Fratila]

Fie \( v_1,...,v_m\in \mathbb{R}^n \) vectori liniar independenti in spatiul vectorial \( \mathbb{R}^n \).
Considerand \( \<\cdot,\cdot\> \) produsul scalar standard pe \( \mathbb{R}^n \) demonstrati ca exista \( z\in\mathbb{R}^n \) astfel incat \( \<z,v_i\> >0\ \forall i=1,...,m \).
(Indicatie: este suficient sa dem. pentru \( m=n \)).

[Radu Titiu]

Deoarece \( v_1,v_2,...,v_m \) sunt liniar independenti iar \( \dim \mathbb{R}^n=n \), rezulta \( m \leq n \).
Daca \( m<n \), atunci putem completa vectorii \( v_1,v_2,...,v_m \) cu \( n-m \) vectori pentru a forma o baza a spatiului \( \mathbb{R}^n \).
Daca reusesc sa demonstrez ca pentru o baza \( (u_1,u_2,..,u_n) \) a lui \( \mathbb{R}^n \) exista \( z \in \mathbb{R}^n \) a.i. \( \<z,u_i\>>0 , \forall i=\overline{1,n} \), atunci totul este terminat.
Presupunem ca

\( u_1=(a_{1,1},a_{1,2},...,a_{1,n}) \)
\( u_2=(a_{2,1},a_{2,2},...,a_{2,n}) \)
...
\( u_n=(a_{n,1},a_{n,2},...,a_{n,n}) \)

\( z=(x_1,x_2,...,x_n) \), cu \( a_{i,j} \in \mathbb{R} \) si \( x_i \in \mathbb{R} \).
Consideram matricea \( A=(a_{i,j})_{1\leq i \leq j\leq n} \), vectorii coloana \( x=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \) si \( y=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \), cu \( y_i >0 \), \( \forall i=\overline{1,n} \).
Observam ca ecuatia \( Ax=y \) are solutie daca si numai daca exista z a.i. \( \< z,u_i\> =y_i>0 \), pentru \( i=\overline{1,n} \). Asadar, este suficient sa aratam ca ecuatia \( Ax=y \) are solutie.
Dar pentru ca matricea \( A \) are n linii liniar independente rezulta ca \( rang(A)=n \), deci \( \det(A) \neq 0 \), de unde rezulta ca ecuatia \( Ax=y \) are solutie.