Se considera functia \( f:\(0,\infty\)\rightarrow \mathbb{R},f(x)=x+\frac{1}{x} \) pe graficul careia luam punctele \( A_n(n,f(n),n\in\mathbb{N}* \). Notand cu \( S_n \) aria triunghiului \( A_nA_{n+1}A_{n+2} \), sa se calculeze \( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n S_k \).
Marian Teler, Costesti, Arges
Concursul GM, ziua 2, problema 2
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
Concursul GM, ziua 2, problema 2
Last edited by Laurentiu Tucaa on Sat Sep 19, 2009 5:29 pm, edited 1 time in total.
-
Theodor Munteanu
- Pitagora
- Posts: 98
- Joined: Tue May 06, 2008 5:46 pm
- Location: Sighetu Marmatiei
Functia f e convexa, deci \( {\rm A}_{\rm n} A_{n + 1} \) e deasupra graficului; functia e strict crescatoare pentru x>1, deci \( f(n+1)>f(n),\forall n \in N* \). Avem
\( {\rm [A}_{\rm n} A_{n + 1} A_{n + 2} ] = \)
\( [X_n X_{n + 2} A_{n + 2} A_n ] - [X_n X_{n + 1} A_{n + 1} A_n ] - [X_{n + 1} X_{n + 2} A_{n + 2} A_{n + 1} ] = \)
\( \frac{{f(n) + f(n + 2) - 2f(n + 1)}}{2} \)
Deci \( {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f(k) + f(k + 2) - 2f(k + 1)}}{2}} = \frac{{f(1) - f(2)}}{2} \).
Stim ca punctele \( X_{i} \) sunt proiectiile punctelor \( A_{i} \) pe axa Ox.
\( {\rm [A}_{\rm n} A_{n + 1} A_{n + 2} ] = \)
\( [X_n X_{n + 2} A_{n + 2} A_n ] - [X_n X_{n + 1} A_{n + 1} A_n ] - [X_{n + 1} X_{n + 2} A_{n + 2} A_{n + 1} ] = \)
\( \frac{{f(n) + f(n + 2) - 2f(n + 1)}}{2} \)
Deci \( {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f(k) + f(k + 2) - 2f(k + 1)}}{2}} = \frac{{f(1) - f(2)}}{2} \).
Stim ca punctele \( X_{i} \) sunt proiectiile punctelor \( A_{i} \) pe axa Ox.
La inceput a fost numarul. El este stapanul universului.