Bisectoarea unui unghi trece printr-un punct dat
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
Bisectoarea unui unghi trece printr-un punct dat
Se considera dreptele coplanare \( d_1 \) si \( d_2 \) si punctele \( B,C\in d_1 \), \( A\in d_2 \), \( M \) mijlocul lui \( BC \), \( A^{\prime} \) proiectia lui \( A \) pe dreapta \( d_1 \) iar \( P\in d_2 \) cu proprietatea ca punctul \( T=\ PM\cap AA^{\prime} \) se afla in acelasi semiplan cu punctul \( A \) fata de dreapta \( d_1 \). Sa se arate ca exista si este unic un punct \( Q\in [AP] \) astfel incat bisectoarea unghiului \( BQC \) sa treaca prin punctul \( T \).
Pentru a rezolva aceasta problema este necesara urmatoarea
Lema
Intr-un triunghi oarecare, bisectoarea unghiului A este inclusa in interiorul unghiului format de inaltimea si mediana corespunzatoare varfului A.
Sa trecem la rezolvarea problemei. Pentru aceasta consideram functia \( f:[AP]\to \mathbb{R} \), \( f(x)=d(T, XC) – d(T, XB) \).
Evident, functia distanta este o functie continua, deci f are proprietatea Darboux si \( f(A) = d(T, AC) – d(T, AB) \), \( f(P) = d(T, PC) – d(T, PB) \). Folosind lema avem \( f(A)f(P) < 0 \), deci conform consecintei proprietatii lui Darboux, exista punctul \( Q\in [AP] \) astfel incat \( f(Q)=0 \), adica \( d(T, QC) = d(T, QB) \), deci punctul T se afla pe bisectoarea unghiului QBC.
Daca insa \( f(A)f(P)=0 \), atunci \( f(A)= 0 \) sau \( f(P) =0 \). Daca \( f(A)=0 \) rezulta ca \( d(T, AC)= d(T, AB) \) si astfel triunghiul ABC este isoscel (AB=AC) si in acest caz punctul Q coincide cu A. Daca \( f(P) =0 \) rezulta ca \( d(T, PC)= d(T, PB) \) si atunci triunghiul PBC este isoscel (PB=PC) si astfel punctul Q coincide atat cu punctul P cat si cu punctul A, deoarece \( AA\prime\cap PM \neq\emptyset \).
Lema
Intr-un triunghi oarecare, bisectoarea unghiului A este inclusa in interiorul unghiului format de inaltimea si mediana corespunzatoare varfului A.
Sa trecem la rezolvarea problemei. Pentru aceasta consideram functia \( f:[AP]\to \mathbb{R} \), \( f(x)=d(T, XC) – d(T, XB) \).
Evident, functia distanta este o functie continua, deci f are proprietatea Darboux si \( f(A) = d(T, AC) – d(T, AB) \), \( f(P) = d(T, PC) – d(T, PB) \). Folosind lema avem \( f(A)f(P) < 0 \), deci conform consecintei proprietatii lui Darboux, exista punctul \( Q\in [AP] \) astfel incat \( f(Q)=0 \), adica \( d(T, QC) = d(T, QB) \), deci punctul T se afla pe bisectoarea unghiului QBC.
Daca insa \( f(A)f(P)=0 \), atunci \( f(A)= 0 \) sau \( f(P) =0 \). Daca \( f(A)=0 \) rezulta ca \( d(T, AC)= d(T, AB) \) si astfel triunghiul ABC este isoscel (AB=AC) si in acest caz punctul Q coincide cu A. Daca \( f(P) =0 \) rezulta ca \( d(T, PC)= d(T, PB) \) si atunci triunghiul PBC este isoscel (PB=PC) si astfel punctul Q coincide atat cu punctul P cat si cu punctul A, deoarece \( AA\prime\cap PM \neq\emptyset \).
"Matematica este asemeni constitutiei unei tari, ale carei legi sunt: leme, teoreme, definitii..." Nica Nicolae
Ar fi fost interesanta la aceasta problema urmatoarea proprietate: Daca T este centrul de greutate in triunghiul PBC si ortocentru in triunghiul ABC, este T centrul cercului inscris in triunghiul QBC? Din pacate aceasta proprietate nu este adevarata....problema ar fi fost prea frumoasa...
"Matematica este asemeni constitutiei unei tari, ale carei legi sunt: leme, teoreme, definitii..." Nica Nicolae
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm