Inegalitate geometrica

[nica]

Sa se arate ca in orice triunghi are loc inegalitatea: \( \frac{a^2+b^2+c^2} {2pr}\geq\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}\geq\frac{a^2+b^2+c^2}{Rp} \)

[Marius Mainea]

Prima inegalitate este echivalenta cu \( a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca \)

A doua este echivalenta cu \( R(ab+bc+ca)\ge 2r(a^2+b^2+c^2) \) care rezulta din inmultitea urmatoarelor doua:

1) \( ab+bc+ca\ge18Rr \)
si
2) \( 9R^2\ge a^2+b^2+c^2 \)