Concursul GM "Nicolae Teodorescu" 2009, problema 4

[Laurentiu Tucaa]

Fie \( n \ge 2 \) natural. Sa se arate ca polinomul \( f=X^{n-1}+X^{n-2}+...+X+1 \) este ireductibil in \( \mathbb{Z}[X] \) daca si numai daca n este prim.

Marcel Tena

[Marius Mainea]

1) Daca n e prim se aplica Criteriul lui Eisenstein (exemplu cunoscut). (f e polinomul ciclotomic de ordin n prim.)

2) Daca \( n=n_1\cdot n_2 \) atunci

\( f=\frac{X^{n_1n_2}-1}{X-1}=\frac{(X^{n_1}-1)g}{X-1}=(X^{n_1-1}+...+X+1)g \).