\( R\geq 2r \),
unde \( R \) reprezinta raza cercului circumscris, iar \( r \) raza cercului inscris. De fapt multe dintre aceste inegalitati au fost deduse din calculul
distantelor dintre anumite puncte importante intr-un triunghi. Referitor la inegalitatea care ii poarta numele, tot Euler a demonstrat ca daca \( O \) reprezinta centrul cercului circumscris al unui triunghi, iar \( I \) este centrul cercului inscris, atunci este valabila urmatoarea relatie:
\( OI^2=R(R-2r) \).
Un pas important in stabilirea altor inegalitati intr-un triunghi a fost facut de catre matematicianul Roland Weitzenbock, in articolul sau, Uber eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie, publicat in Math. Z. in anul 1919, care a demonstrat ca in orice triunghi de laturi \( a, b, c \) si arie \( S \) are loc inegalitatea:
\( a^2+b^2+c^2\geq 4S\sqrt{3} \).
Surpriza sau nu, inegalitatea de mai sus provine si ea dintr-o alta identitate si anume:
\( OF_{1}^2=a^2+b^2+c^2-4S\sqrt{3} \),
unde \( F_{1} \) reprezinta primul punct al lui Fermat. Aceasta identitate a fost gasita si de matematicianul roman Ioan Tomescu prin anii '60, daca nu ma insel.
Ulterior, s-au gasit diverse rafinari ale acestei inegalitati. In primul rand merita mentionata inegalitatea matematicianului sarb, D.S.Mitrinovic care a aratat ca in orice triunghi de laturi \( a, b, c \) are loc inegalitatea
\( \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}\geq 4S\sqrt{3} \).
Cativa ani mai tarziu, s-a stabilit urmatorul "lant" de inegalitati:
In orice triunghi de laturi \( a, b, c \) si arie \( S \) au loc inegalitatile
\( a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\geq a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq 4S\sqrt{3} \).
Inegalitatea \( 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq 4S\sqrt{3} \) este atribuita matematicienilor George Polya si Gabor Szego.
Lovitura de gratie, daca imi este permis sa spun asa, au dat-o matemacienii Paul Finsler si Hugo Hadwiger, in articolul Einige Relationen im Dreick, publicat in
Commentari Math. Helv., in anul 1938 care au demonstrat ca in orice triunghi are loc inegalitatea
\( a^2+b^2+c^2\geq 4S\sqrt{3} +(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \).
In articolul Sharpness of the Finsler-Hadwiger inequality vom demonstra doua inegalitati mai tari decat cea atribuita lui Finsler si Hadwiger. Piesa de rezistenta a articolului nostru o reprezinta inegalitatea valabila in orice triunghi
de laturi \( a, b, c \), arie \( S \) si cu raza cercului circumscris \( R \) si raza cercului inscris \( r \), anume:
\( a^2+b^2+c^2\geq 4S\sqrt{3+\frac{4(R-2r)}{4R+r}}+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \).
Observatie. Din inegalitatea lui Euler, \( R\geq 2r \) si inegalitatea de mai sus se obtine inegalitatea Finsler-Hadwiger.
*Articolul a fost deja trimis la revista canadiana Crux Mathematicorum si va aparea in unul din primele numere ale anului 2008.*
Dorim ca acest articol sa fie un omagiu adus celui care a fost
Alexandru Lupas, matematician, profesor, prieten si nu in ultimul
rand un mare sustinator al tinerilor matematicieni.
P.S. Mentionam ca articolul nostru poate fi gasit si la adresa http://arxiv.org/abs/0708.2871 sub o forma usor diferita. Daca sunt pareri sau comentarii, le asteptam cu mult interes.
