JBTST II 2007, Problema 3

[Laurian Filip]

Fie \( ABC \) un triunghi isoscel in \( A \). Pentru orice punct \( P \) interior triunghiului consideram cercul de centru \( A \) si raza \( AP \) si notam \( M \) si \( N \) intersectiile laturilor \( AB \) respectiv AC cu cercul. Sa se determine pozitia punctului \( P \) pentru care \( MN + BP + CP \) este minima.

[Mateescu Constantin]

Fie \( S\in AP\cap MN \) si \( PK\perp AB,\ K\in AB,\ PL\perp AC,\ L\in AC,\ MM^{\prime}\per AP,\ M^{\prime}\in AP,\ NN^{\prime}\perp AP,\ N^{\prime}\in AP \)

Cum triunghiul \( \triangle AMP \) este isoscel cu \( AM=AP\ \Longrightarrow PK=MM^{\prime} \), de unde \( MS\ge MM^{\prime}=PK\ (1) \)

Analog aratam ca \( NS\ge NN^{\prime}=PL\ (2) \)

Din \( (1) \) si \( (2) \) \( \Longrightarrow MN\ge PK+PL \), de unde \( MN+BP+CP\ge KP+PL+CP+BP=(KP+CP)+(PL+BP)\ge KC+LB\ge h_B+h_C=2h \).

Minimul se atinge cand punctul \( P \) este ortocentrul triunghiului \( \triangle ABC \).