Nilradicalul unui inel

[Alin Galatan]

Fie un inel unitar comutativ. Demonstrati ca intersectia tuturor idealelor prime este multimea elementelor nilpotente ale inelului.

[Dragos Fratila]

Daca \( a \) este nilpotent atunci \( a^n\in P \) de unde rezulta din faptul ca \( P \) e prim ca \( a \in P \).
Reciproc:
Fie \( a \) un element din intersectia tuturor idealelor prime care nu este nilpotent si notam cu \( S \) multimea tuturor idealelor \( I \) cu proprietatea ca \( a^n\not\in I \) pt niciun \( n>0 \).
Aceasta multime \( S \) nu este vida pentru ca \( (0)\in S \). Se demonstreaza ca e inductiv ordonata si cu Zorn se ia un element maximal \( M \).
Trebuie demonstrat acum ca acest ideal maximal \( M \) este ideal prim de unde va rezulta contradictia.
Fie \( x \) si \( y \) din inel astfel incat \( xy\in M \) si presupunem ca \( x,y\not\in M \).
Atunci \( M+x \) si \( M+y \) contin strict pe \( M \) si din maximalitate rezulta ca exista \( n>0 \) astfel incat \( a^n \in M+x \) si \( a^n\in M+y \).
Acum \( a^{2n}\in (M+x)(M+y)\subset M+xy=M \). Contradictie cu faptul ca \( M \) apartine multimii \( S \).

[Tiberiu Popa]

In aceleasi conditii, demonstrati ca radicalul Jacobson (intersectia tuturor idealelor maximale) e egal cu \( \left\{ x \in R \ : \ 1 - xy \text{ e inversabil, oricare ar fi } y \in R \right\} \).

(Ca sa completez "seria".)

[Iulian Cimpean]

In aceleasi conditii, demonstrati ca radicalul Jacobson (intersectia tuturor idealelor maximale) e egal cu \( \left\{ x \in R \ : \ 1 - xy \text{ e inversabil, oricare ar fi } y \in R \right\} \).

Fie R un inel J(R) radicalul Jacobson si A={x|1-rx e inversabil oricare ar fi r in R}.
Fie x in A. Presupunem ca exista un ideal maximal m a.i. x nu e in m. Atunci
m +Rx=R deci exista s in m si r in R a.i. s+rx=1. Deci 1-rx e in m. Deci m=R. Contradictie.
Invers, fie x in J(R). Presupunem ca x nu e in A , i.e. exista un r in R a.i.
1-rx nu e inversabil. Deci exista un ideal maximal M a.i. x e in M si 1-rx e in M.
deci 1 e in M deci M=R. Contradictie.