Teorema lui Van Aubel
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Andi Brojbeanu
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Teorema lui Van Aubel
Fie \( ABC \) un triunghi si punctele \( A^\prim\in (BC), B^\prim\in CA, C^\prim \in AB \). Daca dreptele \( AA^\prim, BB^\prim, CC^\prim \) sunt concurente, atunci exista relatia: \( \frac{B^\prim A}{B^\prim C}+\frac{C^\prim A}{C^\prim B}=\frac{PA}{PA^{\prim}} \).
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Andi Brojbeanu
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Se aplica teorema lui Menelaus in triunghiul \( AA\prim C \) si punctele coliniare \( B, P, B\prim \). Rezulta: \( \frac{BA\prim}{BC}\cdot \frac{B\prim C}{B\prim A}\cdot \frac{PA}{PA\prim}=1 \).
De aici se obtine: \( \frac{B\prim}{B\prim C}=\frac{BA\prim}{BC}\cdot \frac{PA}{PA\prim}^{(1)} \).
Se aplica teorema lui Menelaus pentru triunghiul \( AA\prim B \) si punctele coliniare \( C, P, C\prim \). Rezulta: \( \frac{CB}{CA\prim}\cdot \frac{PA\prim}{PA}\cdot \frac{C\prim A}{C\prim B}=1 \).
De aici se obtine: \( \frac{C\prim A}{C\prim B}=\frac{CA\prim}{CB}\cdot \frac{PA}{PA\prim} ^{(2)}. \)
Adunand relatiile \( (1) \) si \( (2) \), obtinem \( \frac{B^\prim A}{B^\prim C}+\frac{C^\prim A}{C^\prim B}=\frac{PA}{PA^{\prim}} \), adica Relatia lui Van Aubel.
De aici se obtine: \( \frac{B\prim}{B\prim C}=\frac{BA\prim}{BC}\cdot \frac{PA}{PA\prim}^{(1)} \).
Se aplica teorema lui Menelaus pentru triunghiul \( AA\prim B \) si punctele coliniare \( C, P, C\prim \). Rezulta: \( \frac{CB}{CA\prim}\cdot \frac{PA\prim}{PA}\cdot \frac{C\prim A}{C\prim B}=1 \).
De aici se obtine: \( \frac{C\prim A}{C\prim B}=\frac{CA\prim}{CB}\cdot \frac{PA}{PA\prim} ^{(2)}. \)
Adunand relatiile \( (1) \) si \( (2) \), obtinem \( \frac{B^\prim A}{B^\prim C}+\frac{C^\prim A}{C^\prim B}=\frac{PA}{PA^{\prim}} \), adica Relatia lui Van Aubel.