Plan acoperit cu cercuri
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Dragos Fratila
- Newton
- Posts: 313
- Joined: Thu Oct 04, 2007 10:04 pm
Plan acoperit cu cercuri
Se poate acoperi planul cu cercuri disjuncte de raza strict pozitiva?
"Greu la deal cu boii mici..."
Intr-adevar, planul nu poate fi acoperit cu cercuri (si nu puncte!) disjuncte. Intuitiv, interiorul unui cerc va fi acoperit cu cercuri de raze tot mai mici care vor sfarsi prin a fi de raza nula, adica puncte.
Insa spatiul poate fi acoperit cu cercuri disjuncte de raza strict pozitiva!
O sfera (suprafata ei, deci nu bila) din care scoatem 2 puncte, poate fi acoperita cu cercuri, astfel:
Daca cele 2 puncte sunt diametral opuse, cercurile situate perpendicular pe acel diametru (asa cum sunt axele de latitudine ale Pamantului care pornesc de la poli spre ecuator) acopera sfera fara cele 2 puncte.
Daca cele 2 puncte nu sunt diametral opuse, planele tangente la sfera in aceste puncte se taie intr-un punct. Fascicolul de plane, situate intre planele tangente, care trec prin acest punct lasa pe sfera cercuri disjuncte care o acopera in totalitate (fara cele 2 puncte alese).
Insa spatiul poate fi acoperit cu cercuri disjuncte de raza strict pozitiva!
O sfera (suprafata ei, deci nu bila) din care scoatem 2 puncte, poate fi acoperita cu cercuri, astfel:
Daca cele 2 puncte sunt diametral opuse, cercurile situate perpendicular pe acel diametru (asa cum sunt axele de latitudine ale Pamantului care pornesc de la poli spre ecuator) acopera sfera fara cele 2 puncte.
Daca cele 2 puncte nu sunt diametral opuse, planele tangente la sfera in aceste puncte se taie intr-un punct. Fascicolul de plane, situate intre planele tangente, care trec prin acest punct lasa pe sfera cercuri disjuncte care o acopera in totalitate (fara cele 2 puncte alese).
Acum, sa alegem un plan \( xOy \) in spatiul \( \mathbb{R}^3 \). Originea lui va fi si originea spatiului. Consideram in acest plan cercurile disjuncte de ecuatie \( (x-\(4n+1\)\)^2+y^2=1, \forall n\in\mathbb{N}. \)
Se vede ca orice sfera centrata in origine taie fie unul din cercurile alese in 2 puncte, fie este tangenta la fix 2 cercuri. Astfel vom obtine sfere fara 2 puncte, care, conform celor de mai sus, se pot acoperi cu cercuri disjuncte. Acestea, impreuna cu cercurile din \( xOy \) vor acoperi in totalitate spatiul.
Remarca. De ce e mai "bun" \( \mathbb{R}^3 \) decat \( \mathbb{R}^2 \)?
O idee ar fi ca cercurile se pot inlantui sub forma unor zale in spatiu, ceea ce nu mai este valabil in plan.
Se vede ca orice sfera centrata in origine taie fie unul din cercurile alese in 2 puncte, fie este tangenta la fix 2 cercuri. Astfel vom obtine sfere fara 2 puncte, care, conform celor de mai sus, se pot acoperi cu cercuri disjuncte. Acestea, impreuna cu cercurile din \( xOy \) vor acoperi in totalitate spatiul.
Remarca. De ce e mai "bun" \( \mathbb{R}^3 \) decat \( \mathbb{R}^2 \)?
O idee ar fi ca cercurile se pot inlantui sub forma unor zale in spatiu, ceea ce nu mai este valabil in plan.