Traian Lalescu pentru Studenti, Problema 2

[Beniamin Bogosel]

Consideram hiperboloidul cu o panza, in reperul cartezian \( Oxyz \):
\( (\mathcal{H} ) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1. \)
Stiind ca exista punctele \( M,N,P \in \mathcal{H} \) astfel incat vectorii \( \vec{OM},\vec{ON},\vec{OP} \) formeaza un reper ortogonal, demonstrati ca
\( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}> \frac{1}{c^2} \).

[Beniamin Bogosel]

Deoarece mi-a placut tare mult problema asta, o sa pun si rezolvarea pe care am dat-o in concurs.
In primul rand, suprafata \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 \) este un con, numit conul asimptot al hiperboloidului, in sensul in care orice plan care contine axa \( Oz \) intersecteaza \( \mathcal{H} \) dupa o hiperbola, ale carei asimptote sunt incluse in conul considerat.

Astfel gasirea a trei puncte pe \( \mathcal{H} \) ai caror vectori de pozitie formeaza un sistem ortogonal este echivalenta cu gasirea a trei puncte in afara conului ai caror vectori de pozitie verifica aceeasi conditie. (aceasta deoarece o dreapta care trece prin \( O \) intersecteaza hiperboloidul daca si numai daca aceasta contine un punct care nu apartine conului)

Fie \( M(m_1,m_2,m_3), N(n_1,n_2,n_3), P(p_1,p_2,p_3) \) cele trei puncte din enunt. Conditile ca aceste puncte sa fie in afara conului sunt
\( \frac{m_1^2}{a^2}+\frac{m_2^2}{b^2}>\frac{m_3^2}{c^2} \) si analoagele.

Observam ca pentru a obtine inegalitatea dorita este suficient sa demonstram ca exista un punct punct dintre acestea care are coordonata a treia in modul mai mare sau egala cu primele doua.

Aceasta se face in felul urmator. Consideram conul (si interiorul lui) \( C : x^2+y^2 \leq z^2 \). Vom demonstra ca unul dintre puncte este in acest con. Daca \( M \in C \) am terminat. Daca nu, atunci consideram planul care trece prin \( O \) si este prependicular pe \( OM \). Acesta intersecteaza conul dat dupa doua axe perpendiculare, astfel incat 2 regiuni opuse la varf sunt in con, iar doua nu. Deoarece \( N,P \) sunt in acest plan si \( ON\perp OP \), cel putin unul va fi in con. Fara a reduce generalitatea, presupunem ca \( P \). Atunci \( p_3^2 \geq p_1^2+p_2^2 \).
Avem \( \frac{p_3^2}{a^2}+\frac{p_3^2}{b^2}>\frac{p_1^2}{a^2}+\frac{p_2^2}{b^2}>\frac{p_3}{c^2} \).