Ecuatie diofantica exponentiala

[spx2]

De curand un prieten mi-a spus ca la un examen la teoria numerelor s-a dat sa se rezolve ecuatia \( x^y=y^x \) in numere intregi.
Eu am incercat s-o rezolv, am ajuns la ceva, am putut verifica pentru unele solutii si se pare ca functioneaza, insa as vrea sa va rog daca se poate sa-mi confirme cineva ca solutie e buna.
De asemeni, daca aveti alte rezolvari mai elegante (cea pe care o voi scrie e destul de lunga) sunt binevenite.

Solutie:

Descompunem ambele numere in factori primi si scriem

\( x=\prod_{i=1}^{n} p_i^{\alpha_i} \)
\( y=\prod_{i=1}^{m} p_i^{\beta_i} \)

Acum inlocuim scrierile acestea in ecuatia initiala si avem

\( \(\prod_{i=1}^{n} p_i^{\alpha_i}\)^{\prod_{i=1}^{m} p_i^{\beta_i}} = \(\prod_{i=1}^{m} p_i^{\beta_i}\)^{\prod_{i=1}^{n} p_i^{\alpha_i}} \)

De aici vedem ca \( n=m \), deci x si y au aceeasi factori primi dar la puteri diferite.

Putem sa rescriem mai departe

\( \prod_{i=1}^{n} {p_i}^{\({\alpha_i}\prod_{j=1}^{n} p_j^{\beta_j}\)} = \prod_{i=1}^{n} {p_i}^{\(\beta_i \prod_{j=1}^{n} p_j^{\alpha_j}\)} \)

si deci exponentii vor fi egali:

\( {\alpha_i}\prod_{j=1}^{n} p_j^{\beta_j} = \beta_i \prod_{j=1}^{n} p_j^{\alpha_j} \) <- relatia aceasta o notam cu (1)

Acum definim \( c=gcd(x,y)=\prod_{i=1}^{n} {p_i}^{\min(\alpha_i,\beta_i)} \)

Impartim ambii membri in (1) prin c si obtinem:

\( \frac{\alpha_i}{c} \prod_{j=1}^{n} {p_j}^{\beta_j - \min(\alpha_j,\beta_j)}=\frac{\beta_i}{c} \prod_{j=1}^{n} {p_j}^{\alpha_j - \min(\alpha_j,\beta_j)} \) <-- notam cu (2)

Acum intuim ca din cauza impartirii fiecare produs din acela va avea factori primi diferiti si aratam asta prin definirea multimilor

\( X=\{i|\beta_i>\alpha_i\} \)
respectiv
\( Y=\{i|\beta_i<\alpha_i\} \)

Nu am cuprins cazul \( \alpha_i=\beta_i \) deoarece in acel caz termenii respectivi dispar la impartirea cu c.
Se observa ca \( X\cap Y = \phi \) <-- notam cu (3)

Putem deci rescrie (2) indexand produsele dupa multimile X si Y si avem:

\( \frac{\alpha_i}{c} \prod_{j\in X} {p_j}^{\beta_j-\alpha_j}=\frac{\beta_i}{c} \prod_{j\in Y} {p_j}^{\alpha_j-\beta_j} \)

Dar din (3) rezulta ca produsele de mai sus sunt prime intre ele si de aici avem ca:

\( \alpha_i = k\cdot c \cdot \prod_{j\in Y} = ky \)
\( \beta_i = k\cdot c \cdot \prod_{j\in X} = kx \)

Deci avem ca de fapt

\( x=\prod_{i=1}^{n} {p_i}^{kx} \)
si ca
\( y=\prod_{i=1}^{n} {p_i}^{ky} \)

Orice corectura e binevenita.

Multumesc.

[spx2]

Am mai observat ca se pot cumva margini solutiile tinand cont de limita asupra celui mai mare factor prim a unui numar in raport cu el insusi...

[lasamasatelas]

Putemm presupune ca \( x<y \). Ecuatia se mai scrie si \( x^{1/x}=y^{1/y} \). Se arata usor (cu derivate) ca functia \( f(x)=x^{1/x} \) e crescatoare pe intervalul \( (0,e] \) si descrescatoare pe \( [e,{\infty}) \). Prin urmare din \( x<y \) si \( f(x)=f(y) \) rezulta \( x<e<y \). Cum \( x,y \) sunt intregi rezulta ca \( x=1 \) sau \( 2 \). Pentru fiecare dintre aceste valori ale lui \( x \) trebuie cautat \( y>e \) a.i. \( f(y)=f(x) \). Un astfel de \( y \) daca exista este unic pt.ca \( f \) e descrescatoare pe \( [e,{\infty}) \). Daca \( x=1 \) atunci nu exista nici un \( y>e \) cu \( f(y)=f(1)=1 \). Daca \( x=2 \) atunci \( f(4)=4^{1/4}=2^{1/2}=f(2) \) deci \( y=4 \). Deci unica solutie cu \( x<y \) este \( x=2,\,y=4 \)

O problema inrudita mai interesanta: Gasiti \( x,y{\in\mathbb}Q \), cu \( 0<x<y \) a.i. \( x^y=y^x \). Solutia e destul de surprinzatoare: \( x=(1+1/n)^n,\,y=(1+1/n)^{n+1} \) cu \( n\in{\mathbb}N^* \). Singura solutie intreaga se obtine pentru \( n=1 \). Observati ca atunci cand \( n \) creste \( x \) si \( y \) se apropie de \( e \), unul dinspre stanga, celalalt dinspre dreapta.

[Baiatul destept]

Ai gresit inca de la inceput:

Descompunem ambele numere in factori primi si scriem

\( x=\prod_{i=1}^{n} p_i^{\alpha_i} \)
\( y=\prod_{i=1}^{m} p_i^{\beta_i} \)

Nu e obligatoriu ca y sa aiba in descompunere aceiasi \( p_i \) ca x si tocmai aici este greseala pentru ca tie toate relatiile iti rezulta din felul in care ai ales x si y. Descompunerea lui y ar fi trebuit sa fie :
\( y=\prod_{i=1}^{m} s_i^{\beta_i} \)
si atunci toate egalitatile care ieseau inainte dispar.

O alta solutie la problema este sa presupunem ca x<y, x si y diferite de 0 si 1.
Se arata usor ca nu poate un cuplu de forma (x<0 si y>0) nu poate fi solutie a ecuatiei si de asemenea ca rezolvarea ecuatiei in numere negative este exact rezolvarea ecuatiei in numere naturale a modulelor lor.
Asadar in ecuatia initiala logaritmam in baza x si obtinem usor ca \( y=x^{k} \) unde k este un numar natural oarecare. Inlocuind din nou in ecuatia initiala ajungem la concluzia ca \( k=x^{k-1} \), ecuatie care are singura solutie x=2 si k=2 (se arata usor) iar asta inseamna ca singura solutie in numere naturale este x=2, y=4 si cum ecutia este in numere intregi o sa avem si x=-2 si y=-4.

[Cristi Popa]

O problema inrudita mai interesanta: Gasiti \( x,y{\in\mathbb}Q \), cu \( 0<x<y \) a.i. \( x^y=y^x \). Solutia e destul de surprinzatoare: \( x=(1+1/n)^n,\,y=(1+1/n)^{n+1} \) cu \( n\in{\mathbb}N^* \). Singura solutie intreaga se obtine pentru \( n=1 \). Observati ca atunci cand \( n \) creste \( x \) si \( y \) se apropie de \( e \), unul dinspre stanga, celalalt dinspre dreapta.

O solutie evidenta este \( x=y \), cu \( x \) numar rational pozitiv arbitrar. Presupunem ca \( x\neq y \) si \( 0<x<y \). Numarul \( w=\frac{x}{y-x}\in\mathbb{Q}^*_+ \Rightarrow y=\left(1+\frac{1}{w}\right)\cdot x \Rightarrow x^y=x^{\left(1+\frac{1}{w}\right)\cdot x} \).
Deoarece \( x^y=y^x\Rightarrow x^{\left(1+\frac{1}{w}\right)\cdot x}=y^x\Rightarrow x^{1+\frac{1}{w}}=y=\left(1+\frac{1}{w}\right)\cdot x\Rightarrow x^{\frac{1}{w}}=1+\frac{1}{w} \). Deci, \( x=\left(1+\frac{1}{w}\right)^w,\ y=\left(1+\frac{1}{w}\right)^{w+1}\ \ \ (1) \).
Fie \( w=\frac{n}{m},\ x=\frac{r}{s},\ n,m,r,s\in\mathbb{N}^*,\ (n,m)=(r,s)=1 \). Din relatia \( (1)\Rightarrow \left(\frac{m+n}{n}\right)^{\frac{n}{m}}=\frac{r}{s}\Rightarrow\frac{(m+n)^n}{n^n}=\frac{r^m}{s^m} \).
Din \( (m,n)=1\Rightarrow (m+n,n)=1 \) si \( \left((m+n)^n,n^n\right)=1 \). Analog, \( (r^m,s^m)=1 \). Asadar, ambii membrii ai ultimei egalitati reprezinta fractii ireductibile \( \Rightarrow (m+n)^n=r^m \) si \( n^n=s^m\Rightarrow (\exists)\ k,\ l\in\mathbb{N}^* \) a.i. \( m+n=k^m,\ r=k^n \) si \( n=l^m,\ s=l^n\Rightarrow m+l^m=k^m\Rightarrow k\geq l+1 \).
Daca \( m>1\Rightarrow k^m\geq (l+1)^m\geq l^m+m\cdot l^{m-1}+1>l^m+m\Rightarrow k^m>l^m+m \), ceea ce reprezinta o contradictie.
Astfel, \( m=1\Rightarrow w=\frac{n}{m}=n \) si avem solutiile: \( x=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\ y=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1},\ n\in\mathbb{N}^* \).
De aici rezulta si ca singura solutie netriviala in numere naturale se obtine pentru \( n=1 \), adica \( x=2 \) si \( y=4 \).

Remarca: Solutia de mai sus se gaseste in
Ion Cucurezeanu, "Probleme de aritmetica si teoria numerelor", Editura Tehnica, Bucuresti, 1976.

[BogdanCNFB]

Rezolvati ecuatia data de spx2 in multimea numerelor reale.