Vranceanu-Procopiu 2008, Problema 2

[Laurian Filip]

Fie \( M= \lbrace A\in M_4( \mathbb{Z}) | A\cdot A^t =4I_4 \rbrace \).
a) Aratati ca pentru \( A=(a_{ij}) \in M \) avem \( \prod_{i,j}a_{ij} \in \{0,1\} \).
b) Cate matrici \( A = (a_{ij}) \in M \) au proprietatea \( \prod_{i,j} a_{ij}=0 \)?

[Beniamin Bogosel]

Din conditia initiala obtinem si ca \( A^t A=I \). Din cele doua relatii matriciale deducem ca suma patratelor elementelor de pe fiecare linie si coloana este egala cu 4. De aici rezulta ca modulul unui element al matricii nu depaseste 2 si daca unul are modulul 2 exista numai zerouri pe linia si coloana respectiva adica si produsul elementelor este 0. Altfel, toate elementele sunt egale cu 1 si produsul este 1. Astfel am rezolvat punctul a).

Pentru b) sa observam ca daca un element este 0, neaparat exista pe linia si pe coloana lui un element egal cu \( \pm 2 \) si celelalte elemente sunt 0. Problema se reduce astfel la a afla in cate moduri putem pune \( \pm 2 \) si 0 in matrice astfel incat sa existe numai un element de modul 2 pe fiecare linie si pe fiecare coloana. Avem pentru prima linie \( 2\cdot 4 \) pentru a doua \( 2 \cdot 3 \), etc. In total \( 2^4 4! \) moduri.

Punctul a) se poate generaliza, dandu-se relatia \( A\cdot A^t = n I,\ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) \). La punctul b) se complica lucrurile atunci

[Theodor Munteanu]

a) \(
A = \left( {\begin{array}{4c}
{a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } & {a_{14} } \\
{a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } & {a_{24} } \\
{a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } & {a_{34} } \\
{a_{41} } & {a_{42} } & {a_{43} } & {a_{44} } \\
\end{array}} \right)
\).
Avem \( a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 + a_{14}^2 = 4 \) si deoarece \( a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14} \in Z \)\( \Rightarrow a_{11} \in \{ \pm 1, \pm 2,0\} \) si celelalte.
Daca \( a_{11} = 2 \Rightarrow a_{1i} = 0,i \ne 1 \Rightarrow \prod\limits_{i,j} {a_{ij} = 0} \).
Presupunem ca nu exista element \( a_{ij} = 2 \), deci \( a_{ij} \in \{ \pm 1\} \).
Avem \( a_{11} a_{21} + a_{12} a_{22} + a_{13} a_{23} + a_{14} a_{24} = 0 \) si analoagele, deci nu putem avea un numar impar de elemente egale cu -1, asadar produsul poate fi doar 1.
b) Pentru ca produsul sa fie 0 e suficient ca cel putin un element din matrice sa fie 2. De asemenea el e singur pe o linie si il putem lua pe prima linie in 4 moduri. Restul elementelor se pot alege tot 2 sau un numar par de numere egale cu -1.
Daca pe linia 2 mai luam un 2 si pe restul luam -1 si +1 avem \(
\sum\limits_{i = 0}^4 {{\rm C}_{\rm 8}^{{\rm 2i}} } \).
Daca in afara de prima linie nu am 2, avem \(
\sum\limits_{i = 0}^6 {{\rm C}_{{\rm 12}}^{{\rm 2i}} } \)posibilitati.
Daca luam si pe a 3-a linie un 2 mai ramaneau \(
\sum\limits_{i = 0}^2 {{\rm C}_{\rm 4}^{{\rm 2i}} } \) posibilitati.
Avem deci \( {\rm 4}\sum\limits_{i = 0}^6 {{\rm C}_{{\rm 12}}^{{\rm 2i}} } + 4^2\sum\limits_{i = 0}^4 {{\rm C}_{\rm 8}^{{\rm 2i}} } + 4^3 \sum\limits_{i = 0}^2 {{\rm C}_{\rm 4}^{{\rm 2i}} } = 4\cdot2^6 + 4^4 + 2^8 = 3\cdot2^8 \).

[Beniamin Bogosel]

Cred ca ai gresit la punctul b). Daca un element e \( \pm 2 \), atunci acesta forteaza elementele de pe linia lui si coloana lui sa fie 0. Mai departe, daca exista un 0 pe o linie sau o coloana, atunci neaparat exista un element \( \pm 2 \) pe linia si coloana respectiva, pentru ca altfel suma patratelor elementelor nu poate fi 4. Deci pe fiecare linie si pe fiecare coloana exista exact un element egal cu \( \pm 2 \). De aici mai departe se face cum am zis.