Coordonate baricentrice

[alexandru_infomath]

coordonatele baricentrice

Imi poate spune cineva ce inseamna, n-am facut la scoala ?

[mihai miculita]

1. Coordonate baricentrice omogene
Fiind dat un triunghi ABC si un punct M din planul sau, prin coordonatele baricentrice omogene
ale punctului M intelegem un tripletul ordonat \( (x;y;z), x;y;z\in\mathbb{R} \) definit prin:
(i).\( \frac{|x|}{S_{MBC}}=\frac{|y|}{S_{MAC}}=\frac{|z|}{S_{MAB}}; \) (aici prin \( S_{PQR} \) am notat aria \( \triangle{PQR} \));
(ii). Evident \( x=0\Leftrightarrow S_{MBC}=0\Leftrightarrow M\in{BC}. \)
(iii). Daca punctele M si A se gasesc de aceeasi parte a dreptei BC, atunci x>0.
(iv). Daca punctele A si M se gasesc de o parte si de alta a dreptei BC, atunci x<0.
Semnele coordonatelor y si z se definesc in mod analog.
Observatii:
1). In cazul in care punctul M se gaseste in interiorul triunghiului ABC, avem x>0;y>0 si z>0.
2). In cazul in care punctul M se gaseste in exteriorul triunghiului, unul sau doua dintre coordonatele sale sunt negative.
3). Daca (x;y;z) sunt coordonatele baricentrice omogene ale punctului M, atunci si \( (kx; ky; kz); (\forall)k\in\mathbb{R}^* \)sunt coordonatele lui M.
Exemple:
0). Varfurile triunghiului ABC au coordonatele: A(1;0;0); B(0;1;0) si C(0;0;1).
1). In cazul in care M=G(centrul de greutate al \( \triangle{ABC} \)), notand cu S aria triunghiului ABC, avem:
\( S_{GBC}=S_{GAC}=S_{GAB}=\frac{S}{3} \), asa ca putem lua: \( x=y=z=1\Rightarrow G(1;1;1). \)
2). In cazul M=I(centrul cercului inscris), avem:
\( S_{IBC}=\frac{ar}{2}, S_{IAC}=\frac{rb}{2}, S_{IAB}=\frac{cr}{2}\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\Rightarrow I(a;b;c). \)
3). In cazul \( M=I_a \)(centrul cercului exanscris laturii [BC] a \( \triangle{ABC} \)), avem:
\( S_{I_aBC}=\frac{ar_a}{2}; S_{I_aAC}=\frac{br_a}{2}; S_{I_aAB}=\frac{cr_c}{2} \), cu x<0 si y;z>0 \( \Rightarrow I_a(-a;b;c). \)
In mod analog avem, in cazul celorlate 2 cercuri exanscrise (tritangente): \( I_b(a;-b; c), I_c(a;b;-c). \)
4). Daca M=O(centrul cercului circumscris triunghiului)\( \Rightarrow O(\sin{2A}; \sin{2B}; \sin{2C}). \)
5). Daca M=H(ortocentrul triunghiului)\( \Rightarrow H(a.\cos{B}.cos{C}; b.\cos{A}.cos{C}; c.\cos{A}.\cos{B}). \)
Avem insa: \( a.\cos{B}.\cos{C}; b.\cos{A}.\cos{C}; c.\cos{A}.\cos{B}\sim \frac{a}{\cos{A}};\frac{b}{\cos{B}};\frac{c}{\cos{C}}\sim tg{A};tg{B};tg{C}. \)
2. Coordonate baricentrice ale unui punct si vectorul sau de pozitie. Coordonate baricentrice absolute
Notand cu \( \{M_a\}=MA\cap BC; \{M_b\}=MB\cap AC; \{M_c}=MC\cap AB \),
atunci in cazul in care (x;y;z) sunt coordonatele baricentrice omogene ale punctului M, avem:
1). \( \frac{|M_aB|}{|M_aC|}=\frac{S_{MAB}}{S_{MAC}}\Rightarrow M_a(0;y;z). \) In mod analog \( M_b(x;0;z); M_c(x;y;0). \)
2). \( \frac{\vec{M_aB}}{\vec{M_aC}}=-\frac{z}{y};\frac{\vec{MA}}{\vec{MM_a}}=-\frac{y+z}{x}\Rightarrow \vec{PM}=\frac{x.\vec{PA}+(y+z).\vec{PM_a}}{x+y+z}=\frac{x.\vec{PA}+y.\vec{PB}+z.\vec{PC}}{x+y+z}.{ \)
Notand cu \( x_0=\frac{x}{x+y+z}; y_0=\frac{y}{x+y+z}; z_0=\frac{z}{x+y+z}\Rightarrow x_0+y_0+z_0=1 \)
si relatia vectoriala anterioara devine: \( \vec{PM}=x_0.\vec{PA}+y_0.\vec{PB}+z_0.\vec{PC}. \)
Tripletul ordonat \( (x_0; y_0; z_0); x_0+y_0+z_0=1 \), poarta numele de coordonate baricentrice absolute ale punctului M.
3. Ecuatia unei drepte in coordonate baricentrice
In aceasta sectiune urmeaza voi nota cu \( (x_m;y_m;z_m) \)coordonatele baricentrice omogene ale unui punct arbitrar M si cu
\( \vec{m}=\vec{OM} \)vectorul sau de pozitie fata de punctul O(nu neaparat centrul cercului circumscris).
Punctele \( M(x_m;y_m;z); N(x_n;y_n;z_n); P(x_p;y_p;z_p) \) sunt coliniare\( \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow(\exists)\alpha, \beta, \gamma\in \mathbb{R} \mbox{ a.i. } \alpha.\vec{m}+\beta.\vec{n}+\gamma.\vec{p}=\vec{0};\ \alpha +\beta+\gamma=0; \ \alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2\ne 0\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow \alpha.(x_m.\vec{a}+y_m.\vec{b}+z_m.\vec{c})+\beta.(x_n.\vec{a}+y_n.\vec{b}+z_n.\vec{c})+\gamma.(x_p.\vec{a}+y_p.\vec{b}+z_p.\vec{c})=\vec{0}\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow (\alpha.x_m+\beta.x_n+\gamma.x_p).\vec{a}+(\alpha.y_m+\beta.y_n+\gamma.y_p).\vec{b}+(\alpha.z_m+\beta.z_n+\gamma.z_p).\vec{c}=\vec{0} \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin {\array} \alpha.x_m+\beta.x_n+\gamma.x_p=0\\
\alpha.y_m+\beta.y_n+\gamma.y_p=0; \\
\alpha.z_m+\beta.z_n+\gamma.z_p=0\ {\array} \right ;
\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2\ne 0\Leftrightarrow
\left| \begin{\array}
{x_m \ y_m \ z_m}\\
x_n \ \ y_n \ z_n\\
x_p \ \ y_p \ \ z_p {\array} \right|=0.
\)
Consecinta:
Ecuatia dreptei determinate de punctele \( M(x_m;y_m;z_m) \) si \( N(x_n;y_n;z_n) \), date prin coordonatele lor baricentrice absolute sau omogene, este:
\( \left| \begin{\array}
x \ \ \ \ y \ \ \ \ z \\
x_m \ \ y_m \ \ z_m\\
x_n \ \ y_n \ \ z_n {\array} \right|=0\Leftrightarrow (y_m.z_n-y_n.z_m).x+(x_n.z_m-x_m.z_n).y+(x_m.y_n-y_mx_n).z=0. \)
Exemplu:
Daca \( M(x_m;y_m;z_m) \), atunci dreptele AM, BM si CM au in mod respectiv ecuatiile:
\( \frac{y}{y_m}=\frac{z}{z_m};\ \frac{x}{x_m}=\frac{z}{z_m}; \ \frac{x}{x_m}=\frac{y}{y_m}. \)
4. Polara triliniara a unui punct si dreapta de la infinit
Fie \( M(x_m;y_m;z_m) \) atunci potrivit sectiunii 2.1 punctul \( \{M_a\}=AM\cap BC \) are coordonatele baricentrice
\( M_a(0;y_m;z_m)\Rightarrow \)conjugatul sau armonic fata de punctele B si C, punctul \( N_a \), are coordonatele \( N_a(0;-y_m;z_m) \).
In mod analog gasim coordonatele conjugatului armonic \( N_b(x_m;0;z_m) \) al punctului \( M_b \) fata de punctele A si C;
respectiv a punctului \( N_c(-x_m;y_m;0) \)conjugatul armonic al punctului \( M_c \).
Intrucat: \( \left| \begin{\array} \ 0 \ \ -y_m \ z_m \\
\ x_m \ 0 \ -z_m\\
-x_m \ y_m \ 0 \right|=0\Rightarrow \) punctele \( N_a, N_b, N_c \) sunt coliniare.
Dreapta determinata de aceste trei puncte poarta numele de polara triliniara a punctului M fata de triunghiul ABC si ea are ecuatia:
\( \frac{x}{x_m}+\frac{y}{y_m}+\frac{z}{z_m}=0 \).
Consecinte:
1).Polara triliniara a centrului de greutate G(1;1;1) al triunghiului ABC este dreapta de la infinit a planului triunghiului si ea are ecuatia:
\( x+y+z=0. \)
2). Axa ortica a triunghiului ABC este polara triliniara a ortocentrului \( H(tg{A};tg{B};tg{C}) \)si ea are ecuatia: \( x.ctg{A}+y.ctg{B}+z.ctg{C}=0. \)
5. Drepte paralele
Doua drepte paralele au acelasi punct de la infinit, asa ca ele se intersecteaza in acelasi punct al dreptei de la infinit.
Pentru a gasi ecuatia paralelei duse prin punctul \( M_0(x_0;y_0;z_0) \) la dreapta de ecuatie (d): \( mx+ny+pz=0 \) procedam in felul urmator:
Metoda I:
1). Gasim coordonatele baricentrice ale punctului de la infinit al dreptei (d), acestea sunt solutia sistemului:\( \left\{ \begin{\array} mx+ny+pz=0\\
x+y+z=0. \right \)
Solutia acestui sistem este: \( \frac{x}{n-p}=\frac{y}{p-m}=\frac{z}{m-n}\Rightarrow \) punctul de la infinit al dreptei (d) are coordonatele: \( (n-p;p-m;m-n). \)
2). Scriem ecuatia dreptei determinate de punctele \( M_0 \) si \( (n-p;p-m;m-n): \ \left| x \ \ \ \ \ \ y \ \ \ \ \ \ z \\
x_0 \ \ \ \ \ y_0 \ \ \ \ \ z_0 \\
n-p \ p-m \ m-n \right|=0. \)
Metoda II-a:
1'). Scriem ecuatia fasciculului determinat de dreapta (d) si de dreapta de la infinit a planului, aceasta este: \( (mx+ny+pz)-k.(x+y+z)=0. \)
2'). Determinam apoi valoarea parametrului k, impunand conditia ca dreapta sa contina punctul \( M_0\Rightarrow k_0=\frac{mx_0+ny_0+pz_0}{x_0+y_0+z_0}. \)
Punand acum in ecuatia fasciculului \( k=k_0 \), obtinem ecuatia dreptei cautate.
6. Lungimea segmentului [MN]
Fie \( M(x_m;y_m;z_m) si N(x_n;y_n;z_n); x_m+y_m+z_m=x_n+y_n+z_n=1 \) doua puncte date prin coordonatele lor baricentrice absolute.
Daca O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC(|OA|=|OB|=|OC|=R), atunci :
\( \vec{BC}=\vec{OC}-\vec{OB}\Rightarrow a^2=|BC|^2=|OB|^2+|OC|^2-2.\vec{OB}.\vec{OC}=2R^2-2.\vec{OB}.\vec{OC}\Rightarrow 2.\vec{OB}.\vec{OC}=2R^2-a^2 \)
si in mod analog: \( 2.\vec{OA}.\vec{OC}=2R^2-b^2; 2.\vec{OA}.\vec{OB}=2R^2-c^2. \)
Asa ca, avem:
\( \vec{OM}=x_m.\vec{OA}+y_m.\vec{OB}+z_m.\vec{OC}; \vec{ON}=x_n.\vec{OA}+y_n.\vec{OB}+z_n.\vec{OC}\Rightarrow \vec{MN}=\\
=\vec{ON}-\vec{OM}=(x_n-x_m).\vec{OA}+(y_n-y_m).\vec{OB}+(z_n-z_m).\vec{OC}\Rightarrow\\
\Rightarrow |MN|^2=\left[(x_n-x_m).\vec{OA}+(y_n-y_m).\vec{OB}+(z_n-z_m).\vec{OC}\right]^2=\\
=(x_n-x_m)^2.|OA|^2+(y_n-y_m)^2.|OB|^2+(z_n-z_m)^2.|OC|^2+\\
+2.\left[ (y_n-y_m).(z_n-z_m).\vec{OB}.\vec{OC}+(x_n-x_m).(z_n-z_m).\vec{OA}.\vec{OC}+ (x_n-x_m).(y_n-y_m).\vec{OA}.\vec{OB}\right]=\\
=\left[(x_n-x_m)^2+(y_n-y_m)^2+(z_n-z_m)^2\right].R^2+(y_n-y_m).(z_n-z_m).(2R^2-a^2)+\\
+(x_n-x_m).(z_n-z_m).(2R^2-b^2)+(x_n-x_m).(y_n-y_m).(2R^2-c^2)=\\
=\left[(x_n-x_m)+(y_n-y_m)+(z_n-z_m)\right]^2.R^2-(y_n-y_m).(z_n-z_m)..a^2-(x_n-x_m).(z_n-z_m).b^2-(x_n-x_m).(y_n-y_m).c^2=\\
=\left[(x_n+y_n+z_n)-(x_m+y_m+z_m)\right]^2.R^2-(y_n-y_m).(z_n-z_m).a^2-(x_n-x_m).(z_n-z_m).b^2-(x_n-x_m).(y_n-y_m).c^2=\\
=-(y_n-y_m).(z_n-z_m).a^2-(x_n-x_m).(z_n-z_m).b^2-(x_n-x_m).(y_n-y_m).c^2\Rightarrow\\
\Rightarrow |MN|^2=-(y_n-y_m).(z_n-z_m).a^2-(x_n-x_m).(z_n-z_m).b^2-(x_n-x_m).(y_n-y_m).c^2. \)
Consecinte:
1). Cercul avand centrul in punctul \( \Omega(x_0;y_0;z_0);\ x_0+y_0+z_0=1 \) si raza \( \omega \) este:
\( (y-y_0).(z-z_0).a^2+(x-x_0).(z-z_0).b^2+(x-x_0).(y-y_0).c^2+{\omega}^2=0, \)
ea mai poate fi pusa si sub forma: \( a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z).[\rho(A).x+\rho(B).y+\rho(C).z]=0; \)
unde prin: \( \rho(P); P\in\{A,B,C\} \), am notat puterea punctului P fata de cercul considerat.
2) Punand acum conditia ca cercul sa treaca prin punctele A(1;0;0), B(0;1;0) si C(0;0;1)\( \Rightarrow m=n=p=0 \),
asa ca, ecuatia cercului circumscris triunghiului ABC este: \( a^2yz+b^2xz+c^2xy=0. \)
3). Cercul inscris in triunghiul ABC are ecuatia:
\( [(a+b+c).y-b].[(a+b+c).z-c].a^2+[(a+b+c).x-a].[(a+b+c).z-c].b^2+[(a+b+c).x-a].[(a+b+c).y-b].c^2+S^2=0. \)
Intrucat: \( \rho(A)=(p-a)^2;\dots \) acuatia cercului inscris poate fi pusa si sub forma:
\( a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z).[(p-a)^2.x+(p-b)^2.y+(p-c)^2.z]=0. \)
4). Notand cu \( H_b \) piciorul inaltimii si cu \( M_b \) piciorul medianei duse din varful B, avem:
\( |AH_b|=c.cos{A}; |AM_b|=\frac{b}{2}\Rightarrow \rho(A)=|AM_b|.|AH_b|=\frac{bc.cos{A}}{2}=\frac{bc.sin{A}}{2}.ctg{A}=S.ctg{A}; \dots \)
Asa ca ecuatia cercului lui Euler al triunghiului ABC este:
\( a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(x.ctgA+y.ctgB+z.ctgC).S=0. \)

Astept sugestii si ... intrebari...