K-teorie si clase caracteristice

[Liviu Paunescu]

De cativa ani incerc sa aflu raspunsul la urmatoarea intrebare: sunt K-teoria si clasele caracteristice teorii echivalente? Adica e adevarat ca pentru ca doi fibrati vectoriali sa fie in aceasi clasa de K-teorie e necesar si suficient ca ei sa aibe aceleasi clase caracteristice? Sunt doua intrebari aici, in cazul real folosind Stiefel-Whitney sau complex folosind clasele Chern.

[Victor Vuletescu]

Frumoasa intrebare. Fara a da un raspuns (imi plac misterele?), dati-mi voie sa profit de ocazie ca sa amintesc numele unui matematician roman. Ca sa fie mai clar despre ce e vorba, sa punem o problema mai "tare" decat cea propusa in topic: "Daca doi fibrati pe un spatiu topologic X, de acelasi rang, au aceleasi clase Chern, rezulta ca sunt isomorfi?".
Pentru cazul cand X este un CW-complex de dimensiune cel mult 4, raspunsul e DA - teorema lui Wu (Wien-Tsun, sper sa fi scris corect).
Cand X este un CW-complex de dimensiune cel mult 6, (plus o ipoteza suplimentara "mild" asupra torsiunii din coh. intreaga), din nou raspunsul le DA; teorema lui Ionel Bucur.
Acesta e numele despre care voiam sa aduc vorba: profesorul Ionel Bucur. Pentru cei care pot citi si texte in franceza, acest nume se regaseste si in "Recoltes et semailles"...

[Alexandru Chirvasitu]

Adica e adevarat ca pentru ca doi fibrati vectoriali sa fie in aceasi clasa de K-teorie e necesar si suficient ca ei sa aibe aceleasi clase caracteristice? Sunt doua intrebari aici, in cazul real folosind Stiefel-Whitney sau complex folosind clasele Chern.

Un rezultat parţial binecunoscut e ăsta: pentru orice spaţiu compact \( X \), caracterul Chern induce un izomorfism de la \( \tilde K(X)\otimes\mathbb Q \) la coomologia Cech redusă pară (grade pare) cu coeficienţi în \( \mathbb Q \). În particular, dacă doi fibraţi au aceleaşi clase Chern, atunci au aceeaşi clasă în \( K \)-teoria cu coeficienţi raţionali.

Te ajută asta vreun pic, Liviu? Mai multe nu prea ştiu, dar trebuie sa fi fost tratată chestia asta pe undeva. Pentru afirmaţia de mai sus, despre coeficienţi raţionali, o referinţă e asta:

Karoubi, Max - Les isomorphismes de Chern et de Thom-Gysin en K-théorie

Sper că te descurci cu franceza . Articolul e bun pentru că se ocupă exact de asta, şi poţi să vezi rapid care e ideea, fără prea multe pregătiri. Este unul dintr-o serie de expuneri ale seminarului Henri Cartan despre teorema de index (sau se zice indice în română?) Atiyah-Singer. Dacă ai răbdare să citeşti cele circa 25 de expuneri (eu nu am avut ), oamenii ăştia dau acolo demonstraţia completă a teoremei respective. Primele 15 expuneri sunt aici, şi 16-25 aici. Cea de mai sus e numărul 16.


P.S.

Pentru că lucrăm cu spaţii compacte oarecare, coomologia Cech e "cea bună". Sigur, dacă ne interesează numai varietăţile sau CW-complexele, se poate lucra cu coomologia singulară, că e totuna în cazurile astea.