Alex Chirvasitu: un articol super fain

[Gigel Militaru]

Alex a postat saptamina asta un articol scris de el: este unul deosebit care sunt convins ca va avea impact deosebit si va genera interes caci ataca o problema care la prima vedere are sanse minime sa se intimple. Il puteti descarca de aici http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/090 ... 4012v1.pdf El trateaza o problema simpla si naturala: cind functorul limita directa este izomorf natural cu functorul limita inversa? Sau echivalent: cind functorul diagonal e functor Frobenius? Am pus problema asta la cursul de teoria categoriilor din semestrul I (ultimul, ca de la anul nu se mai tine fiind scos din noua programa de master de cei ce au facut programa) si la seminarul stiintific pe la sfirsitul lunii noiembrie. Bine, o avem de multa vreme in cap. In doua luni Alex i-a dat o prima solutie in articolul de mai sus. La prima vedere problema pe care am pus-o pare ‘gresita’ sau “prost pusa” pentru ca cineva s-ar putea intreba: cum sa fie doua chestii izomorfe care sunt duale, adica asa un pic ’pe dos’? Nu e problema asa formulata o prostie, o timpenie? Ei bine, nu e chiar asa! In matematica adesea cind ceva are sanse mici sa se intimple e posibil ca raspunsul la intrebare sa fie surprinzator si neasteptat. Problema nu e o ”gresita’ deloc si din urmatorul exemplu motivant: de la anul II stiti ca sumele directe finite de module coincid cu produsele directe finite. Cum sumele/produsele directe sunt cazuri speciale de limite/colimite iata ca avem un prim exemplu de situatie in care se intimpla ca limita directa sa fie izomorfa cu limita inversa (pentru categorii discrete finite). Cazul general este evident mult mai tentant si la asta raspunde articolul de mai sus.

Ma intorc in timp si imi aduc aminte de anul univ 2002-2003 cind, la acelasi curs de categorii, am pus problema pe tabla: daca functorul suma directa e izomorf natural cu functorul produs direct rezulta ca I e o multime finita? Problema a primit un raspuns afirmativ atunci de la Miu Iovanov (a lucrat ceva la ea pana a dus-o la capat) student la cursul respectiv: a fost si primul lui articol de matematica si il puteti citi aici http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605112v1.pdf Acum dupa 6 ani avem un nou articol, tot al unui student, ce da un prim raspuns (problema e abia la inceput si departe de a fi epuizata) la chestiune mult mai generala. Cea mai generala cu putinta.

Articolul lui Alex este doar de inceput in domeniu: el studiaza si da raspunsuri complete doar in cazul a doua categorii: Set si R-Mod. Problema trebuie tratata, more or less, caz cu caz pentru fiecare categorie in parte. Un caz important pe care il sugerez sa fie abordat este cazul K-Alg (categoria K-algebrelor) si cel al comodulelor peste coringuri.

Celor ce vor sa o atace in continuare le urez bafta!