Etapa judeteana Gorj

alex2008 · Post by **alex2008** » Wed Nov 26, 2008 11:37 pm

Fie numerele : \( a=2^{n+1}\cdot5^n+1 \) , \( b=2^n\cdot5^{n+1}+1 \) , \( c=2^{n+3}\cdot5^n+7 \) , \( d=2^{n+1}\cdot5^{n+3}-1 \) , unde \( n \in \mathb{N} \) . Aratati ca :
a)\( a ,b ,c ,d \) nu sunt prime .
b)\( \frac{7d+c}{b-a} \in \mathb{N} \)
c)c poate fi patrat perfect . Justificati .

Marius Dragoi · Post by **Marius Dragoi** » Fri Feb 20, 2009 10:23 pm

a) a,b,c,d sunt divizibile cu 3 (congruente modulo 3)
b) \( \frac {7d+c}{b-a} = 560 \)
c) Ultima cifra a lui c este 7, asadar c nu poate fi patrat perfect.

BogdanCNFB · Post by **BogdanCNFB** » Sat Feb 21, 2009 4:54 pm

la punctul c) avem
Daca \( n\ge 1\Rightarrow c=10\cdot 2^{n+2}5^{n-1}+7\Rightarrow u(c)=7\Rightarrow \) c nu poate fi patrat perfect.
Daca n=0 avem ca \( c=8+7=15 \) care nu este patrat perfect.
cred ca la punctul c este: c nu este p.p.