Functia zeta a lui Riemann are zerouri netriviale

[Dragos Fratila]

Demonstrati ca \( \psi(x)\neq x+O(x^{\frac12-\varepsilon}) \) pentru niciun \( \varepsilon>0 \).
\( \psi(x) = \sum_{n\le x}\Lambda(n) \), cu \( \Lambda \) functia lui von Mangoldt.

[Cezar Lupu]

Si cand te gandesti ca daca ipoteza lui Riemann este adevarata, atunci are loc
\( \psi(x)=x+O(x^{1/2}\log^{2}x) \).

[Cezar Lupu]

Demonstrati ca \( \psi(x)\neq x+O(x^{\frac12-\varepsilon}) \) pentru niciun \( \varepsilon>0 \).
\( \psi(x) = \sum_{n\le x}\Lambda(n) \), cu \( \Lambda \) functia lui von Mangoldt.

Nu, acum serios vorbind , problema rezulta din urmatoarele doua teoreme:

Teorema 1

Fie \( 0<\theta<1 \). Atunci urmatoarele doua afirmatii sunt echivalente:

i) Functia Zeta a lui Riemann nu are zeroruri netriviale in planul \( \sigma>\theta \);

ii) Teorema elementului prim (PNT) are loc in forma

\( \psi(x)=x+O_{\epsilon}(x^{\theta+\epsilon}), x\geq 2 \).

Ipoteza lui Riemann afirma ca \( \zeta(s) \) nu are zerouri in planul \( \sigma>\frac{1}{2} \). Acum, luand \( \theta=\frac{1}{2} \) in teorema 1, vom obtine urmatoarea echivalenta pentru ipoteza lui Riemann, anume:

Teorema 2

Ipoteza lui Riemann este echivalenta cu \( \psi(x)=x+O_{\epsilon}(x^{1/2+\epsilon}) \).

Pe de alta parte, se stie ca functia zeta a lui Riemann are o infinitate de zerouri pe "banda critica" (\( \sigma=\frac{1}{2} \)) si astfel conditia i) din teorema 1 poate fi adevarata doar daca \( \theta<\frac{1}{2} \), dar cum i) si ii) sunt echivalente obtinem asertiunea din enunt. \( \qed \)