Teorma fundamentala a algebrei via teorema Liouville

[Cezar Lupu]

a) Sa se demonstreze ca o functie olomorfa pe \( \mathbb{C} \) si marginita este constanta. (Teorma lui Liouville)

b) Sa se deduca, folosind eventual punctul a), teorma fundamentala algebrei si anume: Orice polinom cu coeficienti complecsi de grad mai mare sau egal cu 1 are cel putin o radacina complexa.

[Beniamin Bogosel]

a) Folosim inegalitatile Cauchy \( |f^{(n)}(a)|\leq \frac{n!}{\alpha^n}\sup_{|z-a|=\alpha}f(z) \) pentru o functie \( f \) olomorfa pe \( D(a,r),\ \alpha <r \). Se demonstreaza folosind reprezentarea integrala a coeficientilor din reprezentarea Taylor a lui \( f \).

In cazul nostru functia fiind olomorfa pe \( \mathbb{C} \) si marginita, supremumul din inegalitate este marginit de o constanta, si putem face \( \alpha \to \infty \), deci pentru \( n=1 \) rezulta ca \( f^\prime(a)=0,\ \forall a \in \mathbb{C} \). Deoarece planul complex este domeniu, rezulta ca \( f \) este constanta.

b) Fie \( P \) un polinom neconstant. Atunci \( \lim_{z \to \infty}P(z)=\infty \). Deci exista \( a>0 \) astfel incat pe exteriorul discului \( D(0,a) \) functia sa fie mai mare in modul ca 1.
Presupunem ca \( f \) nu are radacini complexe. Atunci \( \frac{1}{P} \) este bine definit si marginit, din consideratiile de mai sus si din faptul ca \( P \) este o functie continua, deci imaginea unui compact va fi tot un compact. Conform a) rezulta ca \( \frac{1}{P} \) este constant, adica si \( P \) este constant. Contradictie cu ipoteza.