IMAC Juniori I 15 mai 2010 Subiectul IV

[Andi Brojbeanu]

Se considera un poligon convex cu \( n \) laturi, \( n\ge 6 \). Descompunem arbitrar poligonul in triunghiuri si patrulatere care au varfurile printre varfurile poligonului si neavand puncte interioare in comun. Stiind ca fiecare triunghi are exact o latura in comun cu poligonul iar fiecare patrulater are exact trei laturi in comun cu poligonul, sa se afle numarul triunghiurilor si patrulaterelor care formeaza descompunerea.
Romania

[Horia Nicolaescu]

Notam cu t numarul de triunghiuri si cu p numarul de patrulatere.
Este clar ca 3p+t=n.
Se mai observa ca suma unghiurilor tuturor triunghiurilor si patrulaterelor este chiar suma unghiurilor poligonului.
360p+180t=180(n-2),adica 2p+t=n-2.
De aici p=2;t=n-6.