Aplicare a criteriului Eisenstein

[spx2]

Pagina de wikipedia a criteriului Eisenstein descrie moduri de a-l aplica chiar daca nu se poate aplica direct, se face o schimbare de variabila.
Dupa ce am pagina citit am crezut ca e necesar sa aplic pentru factorii primi ai discriminantului.
Pagina de wikipedia prezinta un exemplu pentru \( f(X)=x^2+x+2 \) unde \( disc(f)=-7 \), mai departe nu am inteles cum au gasit ca \( f\equiv (x-3)^2 (mod 7) \). Ma intereseaza de ce tocmai \( (x-3)^2 \) (spre exemplu \( f \) s-ar mai putea scrie si \( x^2-6x-5 \) in \( \mathbb{Z}_7[X] \), de ce nu aceasta forma ?).

Pe mine ma interesa de fapt cu cat anume fac schimbarea de variabila ca sa pot aplica Eisenstein.

Stiu ca in unele cazuri Eisenstein nu merge aplicat deloc, articolul wikipedia insa vine sa arate ca, atunci cand se poate aplica Eisenstein, doar unele schimbari de variabile sunt posibile si eu vreau sa stiu care sunt acelea.
Eventual daca se poate sa luati un polinom si sa exemplificati, poate poate inteleg

Multumesc.

[Beniamin Bogosel]

E interesant. Nu pot sa explic, dar acolo, in articol, spune ceva despre numere p-adice, si cred ca aia ar trebui sa citesti intai ca sa intelegi. Si sa nu aplici pana nu stii sigur ca e adevarat ce scrie acolo. Un prof mai batran de mate zicea ca "in matematica nu stii nimic pana nu ii stii demonstratia..."

[lasamasatelas]

Pagina de wikipedia a criteriului Eisenstein descrie moduri de a-l aplica chiar daca nu se poate aplica direct, se face o schimbare de variabila.
Dupa ce am pagina citit am crezut ca e necesar sa aplic pentru factorii primi ai discriminantului.
Pagina de wikipedia prezinta un exemplu pentru \( f(X)=x^2+x+2 \) unde \( disc(f)=-7 \), mai departe nu am inteles cum au gasit ca \( f\equiv (x-3)^2 (mod 7) \). Ma intereseaza de ce tocmai \( (x-3)^2 \) (spre exemplu \( f \) s-ar mai putea scrie si \( x^2-6x-5 \) in \( \mathbb{Z}_7[X] \), de ce nu aceasta forma ?).

Pe mine ma interesa de fapt cu cat anume fac schimbarea de variabila ca sa pot aplica Eisenstein.

Stiu ca in unele cazuri Eisenstein nu merge aplicat deloc, articolul wikipedia insa vine sa arate ca, atunci cand se poate aplica Eisenstein, doar unele schimbari de variabile sunt posibile si eu vreau sa stiu care sunt acelea.
Eventual daca se poate sa luati un polinom si sa exemplificati, poate poate inteleg

Multumesc.

Congruenta \( f(x)\equiv (x-3)^2 (mod 7) \) implica \( f(x+3)\equiv x^2 (mod 7) \).. Asta ne sugereaza sa consideram polinomul \( g(x)=f(x+3) \). Este clar ca \( f \) e ireductibil ddaca \( g \) este ireductibil. Se calculeaza \( g(x)=x^2+7x+14 \), care e ireductibil din Eisenstein pentru \( p=7 \).

[Dragos Fratila]

O parere(n-am citit inca articolul de pe wiki): pt a aplica Eisenstein unui polinom ar trebui(nu e si suficient) ca toti coeficientii in afara celui dominant sa fie divizibili cu un numar prim \( p \). Asta inseamna ca daca reduci polinomul modulo \( p \) polinomul rezultat trebuie sa aiba o singura radacina modulo \( p \) de multiplicitate=gradul polinomului.
Acum, pt a gasi o schimbare de variabila buna sa aplici Eisenstein trebuie, in primul rand, sa gasesti un numar prim \( p \) astfel incat polinomul tau modulo \( p \) sa aiba o singura radacina.
Asta se intampla cu exemplul \( x^2+x+2 \).
Cred ca in limbaj de teorie Galois se traduce in: trebuie sa gasesti o reducere modulo \( p \) astfel incat polinomul tau sa devina "pur inseparabil".

Polinoamelor care au cel putin 2 radacini diferite modulo \( p \) pentru orice numar prim \( p \) nu vei putea aplica acest criteriu oricate "shift-uri" ai face.

Stiu ca in unele cazuri Eisenstein nu merge aplicat deloc, articolul wikipedia insa vine sa arate ca, atunci cand se poate aplica Eisenstein, doar unele schimbari de variabile sunt posibile si eu vreau sa stiu care sunt acelea.

Fixezi un polinom caruia vrei sa-i aplici Eisenstein. Iei numerele prime la rand si te uiti la polinom modulo numar prim. Daca are toate radacinile egale, sa zicem ca e \( r \) aceasta, atunci poti (incerca) aplica Eisenstein cu acel prim facand schimbarea de variabila \( x\mapsto x+r \), daca nu atunci nu poti aplica.

[lasamasatelas]

Un algoritm simplu pt a gasi primul \( p \) si intregul \( r \) a.i. \( f(x)\equiv (x+r)^n\pmod p \).

Scriem \( f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n \).

In primul rand cautam \( p \) printre divizorii lui \( n \). Pentru orice \( p \) de acest fel scriem \( n=p^km \) cu \( p\not\mid m \). Se ia \( r \) o solutie pt. congruenta \( mx\equiv a_{p^k}\pmod p \). Se verifica daca \( f(x)\equiv (x+r)^n\pmod p \). Daca da, atunci am gasit \( p \) si \( r \). Daca nu, atunci nu exista un \( r \) bun pt. acest \( p \). O conditie necesara pt. exitenta lui \( r \) este ca \( p\mid a_i \) pt orice \( i \) nedivizibil prin \( p^k \).

Pentru nedivizorii lui \( n \) trebuie sa cosideram primii care divid cmmdc al numaratorilor coeficientilor lui \( f(x)-(x+\frac{a_1}n)^r \) dar nu il divid pe \( n \). Pentru un astfel de prim \( p \) (daca exista) \( r \)-ul corespunzator este este orice solutie a congruentei \( nx\equiv a_1\pmod p \).

Nota. Pt. orice prim \( p \) \( r \)-ul cu proprietatea ca \( f(x)\equiv (x+r)^n\pmod p \) e unic determinat modulo \( p \). Pentru un astfel de \( p \) scriem \( f(x-r)=x^n+b_1x^{n-1}+...+b_n \) si avem \( p\mid b_i \) pentru orice \( i \). Daca din pacate \( p^2\mid b_n \) atunci Eisenstein nu se aplica. Situatia asta nefavorabila nu se poate schimba daca inlocuim pe \( r \) cu un \( r\prime \) pt. care \( r\prime\equiv r\pmod p \).